Mathe Noob Frage zum Logarithmus?
Guten Abend,
vor ab muss ich sagen, das ich Logarithmus noch nie im Unterricht durchgenommen habe sondern eigenständig eingestiegen bin.
Ich nutze meine Ferien um mich in Astrophysik hinein zu wagen. Ich lerne seit vorgestern wie man durch die Absulute Helligkeit und der scheinbaren Helligkeit Entfernungen von Sternen ermitteln kann.
Doch gerade hänge ich an einer Formelierungschwierigkeit. Ich habe mich selbst über die Nutzung von Logarithmus Informiert, doch eins ist mir Unklar.
Ich hänge bei einem Beispiel: (Die Formel ist: mg - Mg + 5 = 5 log(r)) (gegeben sind Mg= -4,5 und mg= 18) (r in pc (parsec))
18 - (-4,5) + 5 = 5 log(r) | zsm. fassen
27 = 5 log(r) | :5
5,5 = log(r) | ?
und da ist das Problem, ich verstehe das log(r), log10(r) ist und auch das 10^5,5 = r herauskommt aber was muss ich mit dem Log machen um es vom r zu trennen? Multiplizieren, Dividieren, Suptrahieren oder was?
Auf einer Website hab ich gelesen das man das den Logarithmus auflösen nennt, aber irgendwie war ich mir da nicht sicher, soll ich dann etwa:
5,5 = log(r) | log auflösen
10^5,5 = r
hinschreiben?
Liebe Grüße
Klilo
3 Antworten
Die Exponentialfunktion könnte z.B. lauten:
10^x = y
mit x = 2 ergäbe das dann:
10^2 = 100
In Worten würde die Exponentialfunktion lauten: "Was kommt raus, wenn ich 10 mit x potenziere?"
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion.
Der Logarithmus in Worten wäre dann: "Womit muss ich 10 potenzieren, damit y rauskommt?" oder im Beispiel: "Womit muss ich 10 potenzierenm, damit 100 rauskommt?"
10^x = 100
mathematisch geschrieben:
x = log 100
Der Logarithmus sucht also immer nach einer Hochzahl.
Die Basis des Logarithmus ist die Zahl, an die die Hochzahl (Potenz) rangeschrieben wird.
Dabei gibt es folgende Konventionen:
log hat als Basis 10. log x bedeutet also, womit muss ich 10 potenzieren, damit x rauskommt?
ln hat als Basis die Zahl e. ln x bedeutet also, womit muss ich e potenzieren, damit x rauskommt?
ln hat als Basis die Zahl 2. lg x bedeutet also, womit muss ich 2 potenzieren, damit x rauskommt?
Wenn man eine andere Basis haben möchte, muss man das als Tiefzahl an log ranschreiben.
Beim Auflösen nach x gilt das selbe, wie bei allen anderen Rechenoperationen auch.
Beispiel:
x + 5 stellt man nach x frei, indem man die Umkehroperation anwendet, also -5 rechnet.
x * 5 stellt man nach x frei, indem man die Umkehroperation anwendet, also /5 rechnet.
log x stellt man nach x frei, indem man die Umkehroperation anwendet, 10^log x rechnet.
Die Verkettung von einer Operation mit ihrer Umkehroperation lässt beide wegfallen. 10^log x, e^ln x oder 2^lg x heben sich immer gegenseitig auf und übrig bleibts das x.
Bei einer Glleichung muss man natürlich die Umkehroperation immer auf beiden Seiten anwenden, damit es eine Gleichung bleibt.
soll ich dann etwa:
5,5 = log(r) | log auflösen
10^5,5 = r
hinschreiben?
Ganz genau. Mit Zwischenschritt, den man aber üblicherweise weglässt, könnte man schreiben:
5,5 = log r
10^5,5 = 10^(log r)
10^5,5 = r
r = 316228
Wenn man nun zur Probe in den Taschenrechner eingibt:
LOG 316228 (womit muss man 10 potenzieren, damit 316228 rauskommt)
sagt der Taschenrechne:
5,5000....
Für den Logarithmus mit der Basis 10 gilt:
log(x) = y <=> x=10^y
(<=> Ist ein Äquivalenzpfeil)
Um die Gleichung 5,5=log(r) nach r aufzulösen, musst du alsondie umkehrfunktion vom Logarithmus, welche 10^x ist, auf beide Seiten anwenden.
Hinter dem Strich könntest du dann zum Beispiel "Definition von log" oder "10^x anwenden" schreiben.
man muss hier 5,5 = log(r) schon wissen , welche Basis der log hat ( 10 liegt nahe , aber ist nicht sicher , da man allgemein schon mal log für irgendeinen Logarithmus schreibt ) .
Der Ausdruck log(r) steht für einen Exponenten , der zur Basis 10 z.b den Wert r ergibt .
Um log(r) "wegzumathematisieren" nutzt man ( 10 hoch ) und das , weil 10 hoch log(r) genau r ist ( log - Gesetz )
bleibt 10^5.5 = r ...........und r wollte man ja auch haben.