Mathe Aufgabe exponentielles Wachstum: wie gehe ich hier vor?
hey leute wie soll ich bei dieser aufgabe vorgehen:
in einem meeresgebiet nimmt die lichtintensität unter wasser mit zunehmender wassertiefe annährend exponitiell ab. während sie an der wasseroberfläche 100% beträgt, liegt sie in 1,80m tiefe nur noch bei etwa 75%.
a) beschreiben sie die lichtintensität in Abhängigkeit von der wassertiefe durch eine Exponentialfunktion
b) wie hoch ist die lichtintensität in einer tiefe von 60cm, 3,5m und 9m?
c) in welcher tiefe ist die lichtintensität auf unter 1% gesunken?
d) erläutern sie die annahmen die sie für das modell machen müssen
Danke schonmal
2 Antworten
Die allgemeine Exponentialfunktion sieht so aus: f(x)=ab^(kx), wobei das a der Startwert ist, und b der Wachstumsfaktor; das k hängt "vom Zeitpunkt des Wachstums" ab. Soll hier die Funktion die Lichtintensität in % wiedergeben, dann wäre der Startwert a entsprechend 100 (%). Das b ist der Wachstums(Zerfall-)faktor; hier ist 75% angegeben, also b=0,75. Die Lichtintensität fällt aber erst bei x=180 cm (ich rechne mal mit x in cm) auf 0,75, d. h. bei x=180 muss der Exponent 1 sein, also muss k entsprechend auf 1/180 gesetzt werden. Somit lautet die Funktion:
f(x)=100 * 0,75^(x/180), wobei die Funktion f die Lichtintensität in % in einer Tiefe von x cm angibt.
b) hier einfach f(60), f(350) und f(900) ausrechnen (wenn, wie hier, x in cm gewählt wird. Du kannst die Werte auch für x in m angeben, dann ist k halt 1/1,8.
c) hier f(x)<1 nach x auflösen
https://de.wikipedia.org/wiki/Lambert-Beersches_Gesetz
ln (Io/I1) = e * c * d
mit Io=1, I1=0,75, e wird bestimmt, c =1 und d=1,8
0,28768 = 1,8 e
e = 0,15982
b) Io/I1 = exp(ecd) =>
I1 = Io * exp (-ecd)
I(0,6) = 1 * exp (-0,15982 * 0,6) = 90,85%
I(3,5) = 57,16%
I(9) = 23,73%
c) d = ln(1/0,01) / 0,15982 = 28,8m
d) das Wasser ist nicht kompressibel, die Bindungsverhältnisse ändern sich nicht durch den Druck, die Extinktion ist nicht von der Wellenlänge abhängig.