Mathe - Formel für den Zinseszins mit monatlicher Einzahlung?

Die Formel für den Zinseszins lautet:

Wie berücksichtigt man jedoch laufende Einzahlungen? Geht das überhaupt mit nur einer Formel?

Und für die Matheprofis:

Ich möchte eine Kalkulationstool auf Excel bauen, welches zwei Investitionen miteinander vergleicht (Aktienportfolio vs. Immobilie).

Die Idee: ich möchte abschätzen ab welchem Betrag und/oder ab wann sich eine mit Fremdkapital (Kredit) gehebelte und vermietete Immobile unter Berücksichtigung von Zins & Tilgung mehr lohnt als ein nicht gehebeltes Aktienportfolio und andersrum.

Beispielsweise 100.000€ Aktienportfolio mit 7% Rendite pa. und einer monatlichen Sparrate von 1.000€ vs 300.000€ Immobilie mit 3,5% Mietrendite pro Jahr und einer monatlichen Annuität von 1.000€.

Wie gehe ich da konzeptionell und mathematisch am Besten vor? Ich wäre über jeden Tipp dankbar.

Eventuell werde ich letzteres jedoch noch in einer separaten Frage stellen, hier geht es erstmal um die Formel für den Zinseszins.

Answer 1

[nobytree2]

Deine Formel gibt den Endwert des verzinsten Kapitals mit Zinseszins an. Der Zins wäre logischerweise

$Zinsendwert\ =\ K_n-K_0=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n-K_0=K_0\left(\left(1+\frac{p}{100}\right)^n-1\right)$

Wenn wir tilgen, ist der Endwert logischerweise Null. Wenn Du den Zins ausrechnen willst, die Tilgungsbeträge fest (nachschüssig, jährlich)sind und der Zins variabel zum jeweiligen Kreditstand ist, dann wird der gesamte Betrag einmal verzinst, der um eine Rate verringerte zweimal verzinst, ... die letzte Rate n-mal verzinst, also

$Zinsendwert\ =\ K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^1+\left(K_0-t\right)\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^2+\left(K_0-2t\right)\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^3+...+\left(K_0-\left(n-1\right)\cdot t\right)\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$

$=\sum_{i=1}^n\left(K_0-\left(i-1\right)\cdot t\right)\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^i=\sum_{i=1}^nK_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^i-\sum_{i=1}^n\left(i-1\right)t\left(1+\frac{p}{100}\right)^i$ $=K_0\cdot\sum_{i=1}^n\left(1+\frac{p}{100}\right)^i-t\cdot\sum_{i=1}^ni\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^i+t\sum_{i=1}^n\left(1+\frac{p}{100}\right)^i$

das sind drei geometrische Reihe, kann man vereinfachen.

Geht auch bei Vorauszahlung mit Verschiebung sowie monatlich, quartalsweise etc.

Dann gibt es noch den Annuitätenendwert

Answer 2

[Dietwald2016]

Zinseszins gibt es für Spareinlagen. Ich denke mal, dass es für die monatlichen Sparraten noch keine Zinsen gibt. Erst der 12fache Betrag am Jahresende wird im nächste Jahr als Kapital betrachtet und verzinst (also Zinsen für Zinsen = Zinseszins).
Für ein Aktienportfolio gibt es keine gleichbleibenden monatliche Einzahlungen und keine konstanten Erträge. Monatliche Aktienkäufe sind unrentabel. Erst muss man überhaupt Aktien finden, die den Wunschbetrag kosten, und dann wird der Kauf teuer wegen der Mindestbankgebühren. Aktien kauft man also unregelmäßig, nach Qualität und nicht nach gerade aufgerufenem Preis.
Es wird sicher Literatur für Deine Wünsche geben.

Answer 3

[KleverNRW]

Da muss man bei der Immobilie eine simultane Investitions und Finanzierungsplanung machen mit einem vollständigen Finanzplan und einer steuerlichen Gewinnermittlung als Nebenrechnung.

Answer 4

[Sophonisbe]

Nimm statt 12 Sparraten zu 1000 Euro eine Sparrate zu 12000 Euro, die in der Jahresmitte investiert wird. Das erleichtert einiges.