"manche unendlichkeiten sind größer als andere unendlichkeiten"? :o
also dass die unendlichkeit der nachkommazahlen zwischen 1 und 2 , eine kleiner unendlichkeit ist als z.b. die unendlichkeit der gesamten zahlen. aber ich verstehe das nicht: d.h. ja es gibt viele verschiedene unendlichkeiten, was wiederum heißt, dass man sie voneinander abtrennen muss. um unendlichkeiten voneinander trennen zu können muss man sie aber eingrenzen, und wenn man das tut sind es keine unendlichkeiten mehr. weil alles was eine grenze hat ist endlich. stimmt das obige zitat also nicht? oder ist das anders zu verstehen? freu mich über jede antwort :D
6 Antworten
Ja, es gibt unterschiedliche Arten von unendlich, sogar unendlich viele ;) Das ganze Prinzip der Eingrenzung der Unendlichkeiten besteht dadurch, dass man Mengen hat und ihre Objekte zählt, die "Anzahl" an Objekten nennt man die Kardinalität einer Menge.
Man sagt, dass zwei Mengen, nennen wir sie mal M1 und M2, die selbe Kardinalität haben, wenn man zwischen ihnen eine Bijektion herstellen kann, das bedeutet eine Funktion, die jedem Element aus M1 GENAU EIN Element aus M2 zuweist. Die Mengen {Katze, Maus} und {1,2} haben dieselbe Kardinalität, weil es die Bijektion Katze<->1, Maus<->2 gibt, die Mengen {Katze,Maus,Hund} und {1,2} sind jedoch nicht Bijektiv.
Wenn man sich unendliche Mengen anguckt, dann gibt es das selbe Prinzip. Wenn man eine Bijektion, also perfekte Zuordnung, von zwei unendlichen Mengen herstellen kann, haben beide Mengen dieselbe Kardinalität, man nennt sie "gleichmächtig". Mengen, die dieselbe "Mächtigkeit" haben wie die natürlichen Zahlen, also {0,1,2,3,....}, nennt man "abzählbar", Beispiele dafür sind die Ganzen Zahlen {.....,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} (also auch negative) mit der Bijektion 0<->0, 1<->1, 2<->-1,3<->2,4<->-2,...., die Rationalen Zahlen (das könnte dich vielleicht verwirren weil es nicht auf Anschein klar wird, such auf Wikipedia nach der "Stern-Brocott-Folge") usw.
Um zu zeigen, dass es mehrere Arten von Unendlichkeiten gibt, müssen wir eine unendliche Menge finden, die nicht "abzählbar" ist, die also nicht dieselbe Mächtigkeit besitzt wie die Menge der natürlichen Zahlen. Das zeigt man, indem man beweist, dass es keine Bijektion (perfekte Zuordnung) zwischen der gewählten Menge und der Menge der natürlichen Zahlen geben kann. Beispiele hierfür sind: Die Menge der reellen Zahlen, die Potenzmenge der Menge der natürlichen Zahlen (die Menge aller Teilmengen der Menge der natürlichen Zahlen) oder die Menge der Komplexen Zahlen.
Unendlich ist eben nicht gleich unendlich, bei Unklarheiten einfach fleißig Fragen stellen oder auf Wikipedia dich ein bisschen bilden, die jeweiligen Einträge sind ziemlich gut geschrieben.
LG
die Mengen {Katze,Maus,Hund} und {1,2} sind jedoch nicht Bijektiv.
Ist falsch formuliert, hier sollte nicht stehen, dass sie nicht bijektiv sind, sondern dass sie unterschiedliche Kardinalitäten haben, weil es keine Bijektion gibt.
LG
Da mag wohl jemand das Schicksal ist ein mieser Verräter 😄 Es ist so zu verstehen: zwischen 1,1 und 1,2 sind unendlich viele Zahlen wie 1,11&1,12&1,13&1,111119&1,19629472 also unendlich viele. Aber die Unendlichkeit zwischen 1,1 und 1,3 ist noch viel größer, weil dort noch viel mehr zahlen dazwischen sind. So kann man es vielleicht verstehen 😄
deinen letzen satz verstehe ich nicht :o
Zwischen 1,1 und 1,2 liegen aber tatsächlich viel mehr Zahlen als es natürliche Zahlen gibt.
wie kann das sein : "mehr als es natürliche zahlen gibt"? es gibt doch unendlich viele natürliche zahlen.........?
Ja, die Menge der natürlichen Zahlen enthält unendlich viele Elemente. Aber dieses unendlich der natürlichen Zahlen ist ziemlich klein; die kleinste Unendlichkeit, die es gibt. Mengen die dieselbe Mächtigkeit wie die natürlichen Zahlen haben, nennt man auch "abzählbar".
Falls M eine abzählbare Menge ist, so kann man jedem Element aus M eine natürliche Zahl zuordnen, sodass die Elemente dann etwa m1, m2, m3, usw lauten. Dann ist
M = {m1, m2, m3, ... }, d.h. die Elemente von M lassen sich auf diese Weise "durchzählen".
Nun gibt es aber Mengen, die einfach zu groß sind, um sich durchzählen zu lassen. Etwa die reellen Zahlen oder schon die Menge aller Zahlen zwischen 0 und 1 ist nicht abzählbar. Ein Beweis:
Nehmen wir an, die Menge M aller Zahlen zwischen 0 und 1 wären abzählbar. Dann gibt es so eine Durchnummerierung m1, m2, m3, ... Wir betrachten die Dezimaldarstellungen. Z.B. könnte ja gelten:
- m1 = 0,9157253...
- m2 = 0,1253436...
- m3 = 0,5122267...
Jetzt benutzen wir ein sogenanntes "Diagonalargument". Ich konstruiere eine reelle Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt. Hierfür nehme ich mir die erste Nachkommastelle von m1 (das ist die 9) und ändere sie ab, z.B. in 7. Dann nehme ich mir die zweite Nachkommastelle von m2 (das ist die 2) und ändere sie ebenfalls ab, z.B. in 3. Dann nehme ich die dritte Nachkommastelle von m3 und ändere sie ab, z.B. wieder in 7. Bisher lautet die Zahl
m = 0,737
Das führe ich nun einfach ewig so fort. Weil aber für jede natürliche Zahl k an der k-ten stelle von mk eine andere Ziffer steht als bei m, liegt m nicht in der Menge {m1, m2, m3, ... } drin. Das ist aber ein Widerspruch, denn jede Zahl zwischen 0 und 1 sollte ja in dieser Menge drin liegen.
Das bedeutet, dass wir irgendwo eine falsche Annahme gemacht haben. Aber die einzige nicht logisch hergeleitete Annahme war, dass sich die Menge abzählen lässt. Also war die falsch.
Somit lassen sich die Zahlen zwischen 0 und 1 nicht durchzählen. Das bedeutet im Klartext: Wir haben nicht genügend natürliche Zahlen, um diese Menge abzuzählen. Es gibt mehr Zahlen im Intervall [0,1].
Unendlich ist unendlich. Da hat man gedanklich einen "Grenzübergang" gemacht. Danach gibt es weder klein noch groß. Es gibt unendlich viele Nachkommazahlen zwischen 1 und 2, und es gibt unendlich viele Zahlen.
Der Film "Wer früher stirbt ist länger tot" thematisiert das auf der Zeitschiene. Wenn die Zeit nach dem Tod unendlich lange ist, dann ist die Aussage des Filmtitels falsch, auch wenn wir Menschlein uns das nicht wirklich vorstellen können.
Auch dann stimmt der Titel. Die Zeit ist relativ und die Relation zwischen den Todeszeitpunkten bleibt unabänderlich.
Das ist einfach ein Zitat.. stell dir die "unendlichkeiten" als galaxien vor: es gibt größere und kleinere... aber es ist ja nur ein zitat :)
Die Unendlichkeit (∞) ist im Grunde keine Zahl, sondern drückt die Mächtigkeit einer Zahlenmenge aus. IN und Z und die Menge aller Primzahlen sind gleichmächtig, aber IR ist "mächtiger".
Google mal "Mächtigkeit" und "Kardinalzahlen".
Die Unendlichkeit (∞) ist im Grunde keine Zahl.
So ist es. Die Unendlichkeit (∞) ist keine Zahl. Sie ist weder Element von Z noch von R noch von NR. Das schränkt ihre Verwendung in arithmetischen Operationen erheblich ein.
Das ist ein einfacher Gedankengang, aber leider mathematisch falsch. Die Menge der Zahlen zwischen 1,1 und 1,2 ist genauso groß wie die Menge der Zahlen zwischen 1,1 und 1,3 (das lässt sich leicht beweisen, aber ich verzichte hier mal darauf, solange keiner darauf besteht).
Zwischen 1,1 und 1,2 liegen aber tatsächlich viel mehr Zahlen als es natürliche Zahlen gibt.