Lösungen Pq-Formel?
Hey, ist schon ein Weilchen her, dass ich die Pq-Formel ein letztes Mal anwenden musste. In meinem Falle habe ich zwei Funktionen. Die „Haupt“ Funktion 1. und ihre Ableitung 2.
- x^4 - 8x^3 + 16x^2
- 4x^3 - 24x^2 + 32x
Bei der 1. sollte ich Nullstellen berechnen. Habe zuerst ausgeklammert und dann die pq-Formel angewendet. Lösungen waren x1=0 und x2=4
Bei der 2. sollte ich die notwendige Bedingung für Extremstellen prüfen. Als Stellen kamen hierbei x1=0, x2=2 und x3=4. Habe auch hier erst ausgeklammert und dann pq-Formel verwendet.
Nun zu meiner eigentlichen Frage. Warum erhalte ich bei 1. nur eine Lösung aus der pq-Formel und bei 2. erhalte ich zwei Lösungen?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/evtldocha/1661618046590_nmmslarge__0_0_330_330_5b65438fd0a76c82f10658bb02dc7007.png?v=1661618047000)
Warum erhalte ich bei 1. nur eine Lösung
Du bekommst nur eine weil,
ist und damit der Scheitel der Parabel auf der x-Achse liegt (diesen Fall einer Nullstelle nennt man auch "doppelte" Nullstelle oder Nullstelle mit der Vielfachheit 2) In der pq-Formel bedeutet dies, dass der Term unter der Wurzel (Diskriminante D) gleich 0 wird.
Skizze:
![- (Mathematik, Nullstellen, Kurvendiskussion)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/524322018/0_big.png?v=1701357960000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rubezahl2000/1444749506_nmmslarge.jpg?v=1444749506000)
Hab's jetzt nicht nachgerechnet. Aber grundsätzlich gilt:
- Die pq-Formel liefert 2 Lösungen, wenn der Term unter der Wurzel ≥0 ist
- Die pq-Formel liefert 1 Lösung, wenn der Term unter der Wurzel =0 ist
- Die pq-Formel liefert keine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel <0 ist
Anschaulich kannst du dir entspr. Parabeln so vorstellen:
![- (Mathematik, Nullstellen, Kurvendiskussion)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/524321963/0_big.png?v=1701357946000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Halbrecht/1525443667546_nmmslarge__243_35_423_423_0f63963408c8ccb1dad80c34585c3099.jpg?v=1525443670000)
Warum erhalte ich bei 1. nur eine Lösung aus der pq-Formel und bei 2. erhalte ich zwei Lösungen?
weil die pq immer zu
0 , 1 oder 2 Lösungen führt . Immer 2 kann man nicht erwarten . Sobald unter der Wurzel (p/2)² - q = 0 ist , gibt es nur eine Lösung . Völlig normal.
.
Bildlich : x² Gleichungen sind Parabeln mit zwei , einer oder keiner Nullstelle