ln wird immer größer, für x>0, aber das Schaubild sieht aus, als würde es gegen 0 gehen?
3 Antworten
Nein, das sieht nicht so aus, als würden die Funktionswerte gegen 0 gehen.
(Also, wenn du für x → ∞ meinst. Für x → 1 erhält man tatsächlich ln(1) = 0.)
Oder meinst du die Steigung? Die geht tatsächlich im Grenzwert gegen 0. Aber obwohl sie sich 0 nähert, ist sie an jeder endlichen Stelle dennoch positiv, und sogar groß genug, dass der Graph der ln-Funktion noch so stark ansteigt, dass ln(x) → ∞ für x → ∞ ist.
Für die Steigung an einer Stelle x erhält man 1/x. (Denn die 1. Ableitung ist durch ln′(x) = 1/x gegeben.)
Und für x → ∞ erhält man 1/x → 0. Also: Ja, die Steigung nähert sich immer weiter 0. ABER, auch wenn sie sich 0 annähert, wird die Steigung an keiner Stelle gleich 0.
Die Steigung reicht noch aus, dass tatsächlich ln(x) → ∞ für x → ∞ ist. (Dass das so sein muss, kann man unter anderem auch daran erkennen, dass die ln-Funktion eine Umkehrung zur natürlichen Exponentialfunktion ist, und die Exponentialfunktion an jeder reellen Stelle definiert ist, weshalb man umgekehrt bei der ln-Funktion jeden reellen Wert als Funktionswert erhalten kann.)
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Die Frage danach, ob ln(x) für x → ∞ divergiert oder konvergiert ist übrigens sehr stark mit der Frage verwandt, ob die Fläche, die durch...
- den Graphen von y = 1/x,
- die Gerade mit Gleichung x = 1,
- die x-Achse
... beschränkt wird, ein unendlich großen Flächeninhalt oder einen endlich großen Flächeninhalt hat. (Antwort: Der Flächeninhalt ist unendlich groß.)
Nein, so sieht das Schaubild nicht aus, wie kommst du darauf? Der Logarithmus ist streng monoton steigend.
Das ist das Schaubild des ln(x) für x=1 wird der ln (x) null, da e^x=0 für x die Lösung 1 hat. der ln(x) ist aber streng monoton steigend.
Ja meinte wegen der Steigung, weil wenn man sich das anschaut, so steigt es ja immer schwächer