Lineare Algebra: Unterschied Parameterform, Normalenform, Koordinatenform und Hessesche Normalenform?
Hey :) Ich muss mich für mein Studium gerade wieder etwas in lineare Algebra einlesen und bin noch etwas verwirrt von den verschiedenen Formen zur Darstellung von Geraden und Ebenen.
Die Parameterform kenne ich und verstehe ich gut, aber bezüglich der
- Normalenform
- Koordinatenform
- Hesseschen Normalenform
frage ich mich, wozu man diese berechnet und wann man welche Darstellung benutzt bzw. welche Vorteile sie haben.
2 Antworten
Hallo,
für die Parameterform brauchst Du einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Vektoren, die von diesem ausgehen und so die Ebene aufspannen.
Die Form ist dann (x1/y1/z1)+s*(x2/y2/z2)+t*(x3/y3/z3).
Sie bietet sich an, wenn drei Punkte A, B und C der Ebene gegeben sind.
Mit A als Stützvektor, AB und AC als Richtungsvektoren hast Du schnell die Parameterform gefunden. A, B und C dürfen natürlich nicht auf einer Linie liegen, sonst können sie keine Ebene aufspannen.
Mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren aus der Parameterform findest Du schnell die Koordinatenform.
Ist das Kreuzprodukt (Normalenvektor - er steht senkrecht auf der Ebene) der Vektor (a/b/c), lautet die Koordinatenform dieser Ebene ax+by+cz=d.
Den Wert für d bekommst Du, wenn Du irgendeinen Punkt der Ebene in die Koordinatengleichung einsetzt.
Die Normalenform entsteht aus der Überlegung, daß der Normalenvektor einer Ebene auf dieser senkrecht steht. Verbindest Du nun zwei Punkte dieser Ebene durch einen Vektor, muß dieser senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und dem Verbindungsvektor ist in diesem Fall 0.
Daher die Gleichung [(x/y/z)-(a/b/c)]*n=0. Dabei sind a, b und c die Koordinaten eines gegebenen oder berechneten Punktes der Ebene, während (x/y/z) die Koordinaten eines beliebigen weiteren Punktes sind. Liegt der in der Ebene, ist die Gleichung erfüllt, sonst nicht.
Bei der Hesseschen Normalenform wird der Normalenvektor durch Division durch seinen Betrag (seine Länge) auf die Länge 1 gebracht. So kann man den Abstand der Ebene vom Ursprung direkt ablesen.
Alle diese Darstellungen haben ihre Berechtigung und haben ihre Vor- und Nachteile. Sucht man etwa einen Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebenen, setzt man einfach die Geradengleichung in die Koordinatenform ein und löst nach dem variablen Faktor vor dem Richtungsvektor der Geraden auf.
Geht es hingegen um Abstände, ist die Hessesche Normalenform sehr praktisch, weil der Normalenvektor hier die Einheitslänge 1 besitzt.
Herzliche Grüße,
Willy
Klar. Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast, das so ausführlich zu erklären :)
Normalenform:
Idee Skalarprodukt = 0
(x-p)*n = 0, wobeo n Normalenvektor der Ebene ist.
Ausmultiplizieren führt auf Koordinatenform.
Normiert man in der Normalenform n hat man die Hessesche Normalform. Sinn: Setzt man einen Punkt ein, der nicht auf der Ebene liegt, erhält man dann statt 0 den Abstand von der Ebene.
Vielen Dank für den Stern.
Willy