wozu braucht man das skalar- und kreuzprodukt bei der Vektorrechnung im dreidimensionalen?
und wie kommt man von der koordinatenform zu parameterform und wieder zurück?
4 Antworten
sei E: x = a + r*b+s*c (a,b,c vektoren) die parameterform.
1. bestimme n = b x c (kreuzprodukt; b,c vektoren)
2. koordinatenform ist nun n*x=n*a (skalarprodukt, n,x,a vektoren)
umgekehrter weg (braucht man eigentlich nie, da koordinatenform besser):
1. wähle 2 beliebige, zu n linear unabhängige vektoren (am besten einfache wie (1,0,0) (0,1,0) ...) ich nenne sie mal v und w
2. berechne b=n x v und c = w x v (jeweils kreuzprodukt; v,w,n vektoren)
3. setze in koodinatenform 2 willkürliche zahlen für 2 der x werte ein und berechne den dritten. du hast nun einen punkt der ebene a.
4. parameterform: E: x = a + r*b+s*c (a,b,c vektoren) (andere werte als bei der ausgangsparameterform, abder die gleiche ebene, falls du hin und rückweg rechnest)
nutzen des skalar und kreuzprodukts siehe antwort von aurel
Skalarprodukt: a*b:
Winkel x zw. Vektor a und b:
cos x = a * b / (|a| * |b|)
Kreuzprodukt a x b der Vektoren a und b:
c = a x b
Vektor c steht senkrecht auf a und b und |c| ist gleich der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms
von koordinaten in param. gibt es verschiedene wege; mE am einfachsten, sich 3 punkte basteln und mit denen parameterf. machen; zB 3x+2y+z=6 dann P(2;0;0) Q(0;3;0) R(0;0;6) muss immer beim einsetzen 6 ergeben. und von param. zu koordinatenform; mit kreuzprodukt macht man sich einen normalenvektor und dann n1x + n2y +n3z=(Stützv. * Normalenv.)
Mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren lässt sich der Winkel zwischen ihnen bestimmen.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren bildet einen dritten Vektor, welcher senkrecht auf den beiden anderen steht.
http://de.sevenload.com/sendungen/Nachhilfe-2-0/folgen/dThpOlF-Parameterform-in-Koordinatenform