Lineare Algebra Mengenlehre? Schnittmenge bestimmen?
Untersuchen Sie die folgenden Mengen unter Verwendung von A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) für zwei Mengen A und B auf Gleichheit:
(i) A = {z ∈ Z | es existiert ein m ∈ Z mit z = 7m + 4}, B = {z ∈ Z | es existiert ein m ∈ Z mit z = 7m − 3},
(ii) A = {z + z 0 ∈ Z | z, z0 ∈ Z}, B = {2z ∈ Z | z ∈ Z},
(iii) A = {(x, y) ∈ Q × Q | x + y = 3 und x − y = −5}, B = {(−1, 4)}.
Ich habe keine Ahnung wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen muss. Könnt ihr mir für den Anfang helfen
2 Antworten
Die Idee, um die Gleichheit von zwei Mengen A und B zu zeigen ist, wie du schon richtig geschrieben hast, zu zeigen, dass A eine Teilmenge von B und B eine Teilmenge von A ist.
D.h. um A ist Teilmenge von B zu zeigen, nimmst du ein beliebiges Element aus A und zeigst, dass es auch in B liegt.
Am Beispiel der ersten Aufgabe:
A ⊂ B :
Sei z ∈ A. Dann existiert ein m ∈ Z mit z =7m + 4.
Wähle m' = (m+1)∈ Z. Dann ist z = 7m' - 3∈ B.
Analog für B ⊂ A :
Sei z ∈ B. Dann existiert ein m ∈ Z mit z =7m - 3.
Wähle m' = (m-1)∈ Z. Dann ist z = 7m' + 4 ∈ A.
Hallo,
als Starthilfe die (i):
Sei z ∈ A , d.h. es existiert ein m ∈ ℤ mit z = 7m + 4.
Wir definieren m' := m + 1 , also m = m' - 1. Dann gilt
z = 7m + 4 = 7(m' - 1) + 4 = 7m' -7 +4 = 7m' - 3.
Es gibt also ein m' ∈ ℤ mit z = 7m' - 3, d.h. z ∈ B.
Wir haben gezeigt: aus z ∈ A folgt z ∈ B , und das ist äquivalent mit A ⊂ B.
Sei umgekehrt z ∈ B , d.h. es existiert ein m ∈ ℤ mit z = 7m - 3.
Wir definieren m' := m - 1 , d.h. m = m' + 1 . Dann gilt
z = 7(m ' + 1) - 3 = 7m' + 7 - 3 = 7m' + 4 , d.h. z ∈ A .
Wir haben gezeigt: aus z ∈ B folgt z ∈ A , und das ist äquivalent mit B ⊂ A .
Insgesamt: A ⊂ B ∧ B ⊂ A <=> A = B .
Jetzt versuche mal, ob du mit den beiden anderen weiterkommst.
Gruß
Aufgabe 4b:
Zu einer fast gleichen Aufgabe [ (P(M),Δ ,∩) ist ein Ring ] habe ich vor ein paar Monaten einen Lösungsvorschlag gegeben, da kannst du was "abstauben".