lineare Abhängigkeit der Geraden in einer Schar?
Müssen alle Geraden einer Geradenschar, die sich nur im Richtungsvektor unterscheiden, linear abhängig sein? Warum?
1 Antwort
Zunächst sind Geraden überhaupt nicht linear abhängig. Linear abhängig sind Vektoren und Geraden sind keine Vektoren. Sie können höchstens mit einem linearen Unterraum identifiziert werden, wenn die Gerade durch den Nullpunkt geht.
Was genau ist also zweitens deine Frage? Wenn sich Geraden im Richtungsvektor unterscheiden ist noch gar nichts über die Lage der Geraden zueinander gesagt. Sie können dann immer noch zusammenfallen (wenn es einen Schnittpunkt gibt und die Richtungsvektoren linear abhängig sind), sie können sich schneiden (wenn die Richtungsvektoren linear unabhängig sind und es einen Schnittpunkt gibt), sie können parallel sein (wenn die Richtungsvektoren linear abhängig sind und es keinen Schnittpunkt gibt) und sie können windschief sein (wenn die Richtungsvektoren linear unabhängig sind und es keinen Schnittpunkt gibt). Das kannst du dir schön in einer Vierfeldertafel darstellen.
Bitte überlege dir also noch mal genau was eigentlich deine Frage ist.
Da ich nicht weiß wie die Geradenschar aussieht kann ich recht wenig dazu sagen. Hast du die Aufgabe als Bild verfügbar?
Hier kann ich das Bild irgendwie nicht beifügen.
Für die Gleichung der Schnittgeraden gilt (2,5|0|3,5) + t * (0|1|-0,8). Gleichung der Geradenschar (2,5|0|3,5) + r * (0|-10a|2/a)
Kannst du vielleicht diese Frage beantworten: Hier geht es wieder um zwei Ebenen und deren Schnittgerade. Ist der Richtungsvektor dieser Schnittgerade immer senkrecht zum Normalenvektor der beiden Ebenen?
Der Normalenvektor der Ebene steht doch offensichtlich senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene, oder nicht? Was hast du oben über den Richtungsvektor der Schnittgeraden gelernt? Überlege nun selbst noch mal.
Ist es nicht der Fall, wenn beide Ebenen zueinander parallel sind?
Wenn die Ebenen parallel zueinander sind haben sie keine Schnittgerade. Da bist du auf dem völlig falschen Dampfer. Wenn die Ebenen eine Schnittgerade haben, liegt der Richtungsvektor dieser Schnittgeraden in beiden Ebenen. Die Normalenvektoren der Ebenen stehen aber senkrecht auf allen Vektoren die in der jeweiligen Ebene liegen, oder nicht?
Es gibt z.B. eine Schnittgerade von zwei Ebenen. Ich muss überprüfen, ob diese Schnittgerade zu einer Geradenschar gehört. Die Schnittgerade und Geradenschar haben denselben Stützvektor. Laut dem Lösungsbuch müssen der Richtungsvektor der Schnittgeraden und der Richtungsvektor der Geradenschar linear abhängig sein, damit die Schnittgerade zur Geradenschar gehört, was ich nicht verstanden habe.