Gerade orthogonal zu Ebenenschar?
Hallo liebes Team,
ich hatte eine Frage, ob die Gerade orthogonal zu Ebenenschar ist.
Die Schar lautet Ea : 3ax1+2ax2-5x3=10a
Die Gerade lautet g : (1|1|0) +t(3|2|1)
Man müsste ja den Richtungsvektoren von g mit dem Richtungsvektor 1 und den Richtungsvektor 2 mit dem Skalarprodukt in ein lineares Gleichungssytem bringen. Aber wie komme ich auf die Parameterform?
Vielen Dank für Eure Antworten
1 Antwort
Es gibt keine Gerade, die orthogonal zu allen Ebenen der Ebenenschar...
...verläuft.
Die von dir angegebene Gerade g verläuft aber zumindest ortogonal zur Ebene E₋₅.
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Übrigens: Eine Gerade verläuft genau dann orthogonal zur Ebene Eₐ, wenn der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches des Normalenvektors ( 3a | 2a | -5 ) der Ebene Eₐ ist.
Eine Parameterform der Ebene braucht man hier gar nicht. Das wäre ein umständlicher Umweg.
Man kann aber beispielsweise einfach 3 Punkte der Ebene ermitteln, beispielsweise die Schnittpunkte (10/3 | 0 | 0) und (0 | 5 | 0) und (0 | 0 | -2a) mit den Koordinatenachsen. [Die Punkte erhält man, indem man x₂ = x₃ = 0 bzw. x₁ = x₃ = 0 bzw. x₁ = x₂ = 0 einsetzt und nach der verbleibenden Variable x₁ bzw. x₂ bzw. x₃ auflöst.] Mit den 3 Punkten kann man dann wie gewohnt eine Gleichung in Parameterform aufstellen.
Eine Gerade verläuft genau dann orthogonal zur Ebene Eₐ, wenn der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches des Normalenvektors ( 3a | 2a | -5 ) der Ebene Eₐ ist.
Der Richtungsvektor deiner Geraden g ist (3 | 2 | 1). Wenn die Gerade g also orthogonal zu einer der Ebenen Eₐ verlaufen soll, muss es eine Zahl k geben, so dass gilt:
(3 | 2 | 1) = k ⋅ ( 3a | 2a | -5 )
(3 | 2 | 1) = ( k ⋅ 3a | k ⋅ 2a | k ⋅ (-5) )
Ein Vergleich der letzten Einträge liefert die Gleichung 1 = k ⋅ (-5), weshalb k = -1/5 sein muss.
(3 | 2 | 1) = ( -1/5 ⋅ 3a | -1/5 ⋅ 2a | -1/5 ⋅ (-5) )
(3 | 2 | 1) = ( -3/5 ⋅ a | -2/5 ⋅ a | 1 )
Ein Vergleich der ersten Einträge liefert die Gleichung 3 = -3/5 ⋅ a, weshalb a = -5 sein muss. Für a = -5 stimmt auch die Gleichung 2 = -2/5 ⋅ a für die mittleren Einträge.
Demnach ist die Gerade g für a = -5 orthogonal zur Ebene Eₐ.
Vielen Dank für deine Antwort mihusu.
Könntest du mir noch schreiben wie du auf die a=-5 gekommen bist? Oder hast du einfach mit ausprobieren das richtige rausbekommen?