LGS Funktionen bestimmen?

Bestimmen Sie zu dem Graphen die dazugehörende Polynomfunktion. Verwenden Sie nur Bedingungen mit ganzzahligen x-Werten. Kann mir jemand je die Ansätze und Bedingungen von a, b und c nennen?

Answer 1

[GuteAntwort2021]

Hallo.

Spezielle Punkte vom Graphen ablesen und in die Normalform einsetzen.

Bei Aufgabe A sehe ich einen lokalen Hoch- und einen Tiefpunkt bei je (-2|1) und (0|4). Da die erste Ableitung also immer noch zu 2 Nullstellen führt, haben wir es mit einer Funktion dritten Grades zu tun.

Wie sieht die Normalform dazu aus?

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

und die Ableitung?

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Nun setzt du die bekannten Punkte ein:

f(0) = 4
4 = 0a + 0b + 0c + d
d = 4
............
f(-2) = 1
1 = -8a + 4b - 2c + 4
-3 = -8a + 4b - 2c
............
f'(0) = 0
0 = 0a + 0b + c
c = 0
............
f'(-2) = 0
0 = 12a - 4b + 0

Hier können wir bereits ein Verhältnis feststellen:

b = 3a

Setzen wir ein und lösen auf:

f(-2) = 1
1 = -8a + 4b - 2*0 + 4
-3 = -8a + 4(3a)
-3 = -8a + 12a
-3 = 4a
a = -0,75
............
b = 3a
b = 3*(-0,75)
b = -2,25

Das führt uns zur Funktion:

f(x) = -0,75x³ - 2,25x² + 4

Auf https://www.geogebra.org/calculator kannst du den Graphen dann mit deinem Buch vergleichen.

Viel Erfolg. 👍

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Answer 2

[evtldocha]

Kann mir jemand je die Ansätze und Bedingungen von a, b und c nennen?

Mit den drei Parametern kommst Du nicht allzu weit, denn Aufgabe a) ist ein Polynom dritten Grades und die beiden anderen sind (mindestens) Polynome vierten Grades:

Aufgabe a)

$f\left(x\right)\ =\ ax^3+bx^2+cx+d$

$\left(1\right)\ f\left(-2\right)=1$ $\left(2\right)\ f'\left(-2\right)=0$ $\left(3\right)\ f\left(0\right)\ =\ 4$ $\left(4\right)\ f'\left(0\right)\ =\ 0$

Diese vier Bedingungen sollte ausreichen.

Die beiden anderen Aufgabe gehen ähnlich, wenn Du Dir die Extrempunkte ansiehst. Es ergibt sich jeweils eine Gleichung für den Funktionswert und die erste Ableitung.

Aufgabe b) kannst Du Dir extrem erleichtern, wenn Du die Symmetrie beachtest, weshalb keine Glieder mit ungeradem Exponenten vorkommen können und daher b=0 und d=0 von vorneherein klar ist). Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet, aber es würde mich nicht wundern wenn das Ergebnis bei b)

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}\left(x+2\right)^2\cdot\left(x-2\right)^2-1$ ist.

Answer 3

[Halbrecht]

c) Grad 4 , fünf Parameter gesucht

Ganzzahlig : zur Verfügung steht (0/0) (daraus folgt sofort e = 0 ) , (2/-8) .

Und außerdem f'(-1) = 0 , f'(0) = 0 ( folgt d = 0 ) , f'(2) = 0
sind fünf Bedinungen

e = 0 , d = 0 , also nur noch ax^4 + bx^3 + cx² = f(x) und f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx

Einsetzen
-8 = 16a + 8b + 4c ;
0 = -4a + 3b - 2c ;
0 = 32a + 12b + 4c ..............(3)*-1 zu (1) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (2)*2 zu (1) , zwei Glg mit a und b , eine davon wieder mit einer geeigneten Zahl multi und a oder b ist gefunden

.

so sieht das bei c) aus