Lagrange Extrema Bestimmung unter Nebenbedingungen?
ich habe eine Aufgabe zur Bestimmung von Extrema mit Lagrange Verfahren.
Ich verstehe das Prinzip im ganzen, nur bin ich nicht helle genug um mir die Nebenbedingnung irgendwie herzuleiten, ich kann es einfach nicht
Die Aufgabe lautet:
Welche Punkte der durch Gleichung x^2 + y^2 + xy =1 gegebenen Ellipse mit Mittelpunkt (0,0) haben vom Koordinatenursprung extremalen Abstand ? Mit Hilfe des Ergebnisses skizziere man die Ellipse.
... ja Lagrange verfahren hin oder her ohne Nebenbedingung werd ich die krit Punkte am rand nicht herausfinden können...
die Extremalstelle im Inneren müsste bei (0,0) liegen und müsste ein Tiefpunkt sein
Würde echt super sein wenn mir jemand erklären kann wie ich mir die Nebenbedingungen erschließen kann
1 Antwort
Hallo,
wenn Du hier mit dem Lagrange-Multiplikator arbeitest, stellst Du zunächst eine Funktion f(x|y) auf, die ein Maximum annehmen soll. Diese Funktion heißt:
f(x|y)=x+y. Der Punkt, der möglichst weit vom Ursprung entfernt sein soll, liegt auf der Peripherie der Ellipse. Die Entfernung bis dort vom Ursprung wäre nach dem Satz des Pythagoras die Wurzel aus x²+y². Da wir aber hier diese Entfernung gar nicht berechnen wollen, sondern nur wissen wollen, für welche x und y sie maximal wird, reicht es sicher, wenn wir nur sehen, wann x+y maximal wird - dann sollte es auch die Wurzel aus der Summe ihrer Quadrate sein. Beachte bitte, daß wir uns die ganze Zeit im ersten Quadranten bewegen.
Die Nebenbedingung nennen wir φ(x|y):
x²+y²+xy-1
Aus diesen beiden bauen wir die Hilfsfunktion mit dem Lagrange-Multiplikator λ
zusammen, aus der wir ein Gleichungssystem entwickeln wollen:
λ(x|y)=x+y+λ(x²+y²+xy-1)
Nun differenzieren wir partiell, wobei ∂/∂x, ∂/∂y und ∂/∂λ jeweils gleich Null werden müssen, die notwendige Bedingung für einen Extremwert.
Diese partiellen Ableitungen richten sich jeweils nach einer Variablen. Die anderen Variablen werden dann einfach wie Konstanten betrachtet und behandelt:
∂/∂x:1+2λx+λy=0
∂/∂y:1+2λy+λx=0
∂/∂λ: x²+y²+xy-1=0
Wenn Du in der ersten Gleichung λ ausklammerst:
1+λ(2x+y)=0
λ(2x+y)=-1
λ=-1/(2x+y)
kannst Du diesen Ausdruck in die zweite Gleichung einsetzen:
1-2y/(2x+y)-x/(2x+y)=0
2x+y-2y-x=0
(Hier habe ich die 1 mit auf den Bruchstrich gebracht und anschließend beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner 2x+y multipliziert, so daß er verschwindet, weil er rechts mit 0 multipliziert wird.
Zusammenfassen:
x-y=0, also x=y
Nun setzt Du für y ein x in die dritte Gleichung und erhältst so f'(x):
x²+x²+x²=1
3x²=1
x²=1/3
x=y=√(1/3)=0,57735
Herzliche Grüße,
Willy
P.S.: Ohne Gewähr, vielleicht meldet sich noch jemand, der es besser weiß und kann.
Du kannst als Hilfsfunktion auch
L(x,y,λ)=x²+y²+λ*(x²+y²+xy-1) aufstellen.
Wenn Du dies partiell ableitest und das Gleichungssystem
2x+2λx+y=0
2y+2λy+x=0
x²+y²+xy-1=0
löst, bekommst Du als Ergebnis ebenso x=y=√(1/3)=0,57735
Alles Gute,
Willy