Mathematikproblem mit Extremwertaufgabe
Hallo ihr Lieben, ich sitze gerade vor meinen Mathehausaufgaben und bin bei einer Teilaufgabe auf ein Extremalproblem gestoßen. Gegeben ist die Funktion: f(x)= 4Wuzelx e^-0,5x. Diese Funktion beschreibt die Randkurve einer Birne. Nun ist die Aufgabe, dass ein achsenparalleles Dreieck einen maximalen Flächeninhalt haben soll. Dabei so der eine Punkt im Koordinatenursprung und der gegenüberliegende Punkt auf dem Graphen f liegen.
Als Hauptbedingung dient logischerweise: A= x*f(x)
beim Aufstellen der Nebenbedingung habe ich aber so meine Probleme. ich denke, dass ich hier auf jedenfalls irgendwas mit f(x) gleichsetzen muss, da ja der Eckpunkt auf dem Graphen ein Schnittpunkt sein muss. könnte mir jemand vielleicht behilflich sein und mir einen Denkanstoß geben? (NB: f(x)= ??)
Mir ist klar, dass ich die Nebenbedingung dann in die Hauptbedingung einsetzen müsste, dadurch meine Zielfunktion erhalten würde, die erste Ableiten bilden und diese 0 setzen müsste, um das Maximum berechnen zu können.
4 Antworten
Randkurve f(x) = 4 • √x • e^(– 0,5x). Stimmt das so? Wenn P auf der Kurve liegt, so sind seine Koordinaten x und f(x). Der dritte Punkt Q(x l 0) des Dreiecks liegt auf der x-Achse. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist A(x) = 0,5 • x • f(x) nämlich ½ Breite mal Höhe, also 2x√x • e^(– 0,5x) = 2 • x^1,5 • e^(– 0,5x). Die Ableitung A‘ (x) = (3 – x) • √x • e^(– 0,5x) gerechnet mit Produktregel und Kettenregel. Wenn Du es nicht schaffst, bitte melden. Also x = 3
Deine Hauptbedingung beschreibt den Flächeninhalt eine s Rechtecks, das durch die Diagonales von (0 | 0 ) zu (x | f(x) ) in zwei verschiedene, aber flächengleiche Dreiecke geteilt wird, die beide zwei achseparallele Seiten haben. Ich nehme mal an, dass du eines dieser beiden meinst, z.B. das von stekum beschriebene.
Dann ist ist die Hauptbedingung bis auf den noch zu berücksichtigenden Faktor 1/2 auch die Zielfunktion, siehe stekum.
. . .
Die Umformung bei stekum ist:
f(x) = 2 x √ (x) e^(-x/2) =
Schreibung von x, √ (x) als Potenzen:
2 x^1 x^(1/2) e^(-x/2) =
Anwendung von x^a * x^b = x^(a+b):
2 x^(3/2) e^(-x/2);
. . .
Die Ableitung kommt bei mir genauso heraus. Es ist praktisch, zunächst e^(-x/2), dann x^(1/2) auszuklammern.
Extremalaufgabe, ich hab x = 3 für den Eckpunkt des größten Dreiecks mit einer Seite auf der x-Achse.
Verwendet hab die Dreiecksfläche A = x*f(x) / 2.
Veranschaulicht hab ich es mir mit Hilfe von GnuPlot.
Pardon, als ich meine Antwort abschickte, habe ich Deine noch nicht gesehen.
Wozu brauchst du eine Nebenbedingung? Du hast sie ja schon in deiner HB drin: "f(x)" ist deine NB, denn 2 Eckpunkt sollen ja auf dem Graphen liegen. → einfach in deiner HB die Funktionsgleichung einfügen und wie gewohnt lösen.
Hey also welchen Schnittpunkt willst du denn ausrechnen? den mit der y-achse oder den mit der x-achse? Y-achse: x=0 einfach in die formel einsetzen und ausrechnen x-achse: F(x) =0 also einfach dann ausrechnen...
Ich hoffe ich konnte dir weiter helfen und habe deine Frage richtig verstanden :)
LG
Moment. Wie genau komme ich auf diese Zeile? 2x√x • e^(– 0,5x) ist mir klar. Einfach durch einsetzen, aber wieso ist das gleich 2•x^1,5•e^(-0,5x)? Ich dachte du hast einfach die wurzel umgeschrieben aber dann wäre es doch eigentlich x^0,5. Das verwirrt mich gerade, könntest du mir das nochmal erläutern? 2x√x • e^(– 0,5x) = 2 • x^1,5 • e^(– 0,5x).