Kugelgleichung bestimmen?

Hallo zusammen, ich habe seit kurzem das Thema Kugel in Mathe. Ich verstehe folgende Aufgabe nicht ganz

Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel K durch den Punkt P (12/4/16), welche die x-y-Ebene im Ursprung berührt.

Also bis jetzt wieß ich,

Dass M(0,0,zm) sein muss //zm ist dabei die z Koordinate des Mittelpunktes

Daraus folgt

. K: x^2 + y^2 +(z-zm)^2=r^2

Nach einsetzt von B erhalte ich

1. zm^2= r^2

Nach einsetzen von P erhalten ich

2. 12^2 + 4^2 + (16-zm)^2=r^2

Aber wie bekomme ich jetzt denn die Kreisgleichung? Wie komme ich auf den Mittelpunkt und den Radius? Ich bräuchte bitte eine verständliche Erklärung+ Rechenweg

Answer 1

[mihisu]

Du hast die beiden Gleichungen...

$[1] :\quad z_M^2=r^2$

$[2] :\quad 12^2+4^2+\left(16-z_M\right)^2=r^2$

... gefunden. Diese bilden zusammen ein Gleichungssystem bzgl. den Unbekannten z_M und r. Löse dieses Gleichungssystem!

Du kannst beispielsweise durch Gleichsetzen von r² aus den beiden Gleichungen eine Gleichung erhalten, in der nur noch z_M als Unbekannte vorkommt. Daraus erhältst du z_M, was du dann nutzen kannst, um beispielsweise mit Gleichung [1] dann den Radius r zu erhalten.

=============

$z_M^2=12^2+4^2+\left(16-z_M\right)^2$

$\Leftrightarrow \quad z_M^2=12^2+4^2+16^2-2\cdot 16\cdot z_M + z_M^2$

$\Leftrightarrow \quad z_M^2=144+16+256-32\cdot z_M + z_M^2$

$\Leftrightarrow \quad z_M^2=416-32\cdot z_M + z_M^2$

$\Leftrightarrow \quad 0=416-32\cdot z_M$

$\Leftrightarrow \quad 32\cdot z_M=416$

$\Leftrightarrow \quad z_M=13$

$[1]\quad\rightarrow\quad r^2=z_M^2\quad \Leftrightarrow\quad r^2=13^2\quad \Leftrightarrow\quad r=\pm 13$

Da der Radius einer Kugel positiv ist, kann man die negative Lösung r = -13 ignorieren und erhält r = 13.

Ergebnis:

$z_{M}=13\quad \text{ und }\quad r=13$

=============

Setzt die Werte z_M = 13 und r = 13 nun in den Ansatz...

$K :\quad x^2+y^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2$

... ein, den du auch selbst zuvor bereits genannt hast, erhältst du die gesuchte Kugelgleichung...

$K :\quad x^2+y^2+\left(z-13\right)^2=13^2$

Comments

[FragenstellerAM]

Vielen Dank . Jetzt wo ich deine Antwort sehe fällt es mir auch auf danke sehr!

Answer 2

[EdCent]

Hallo,

der Radius muss gleich |zm| sein.

12^2 + 4^2 + (16-r)^2=r^2

144+16+256-32r=0

416 = 32r

--> r=13, M(0|0|13)

🤓

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Unterricht am Gymnasium