Extrema unter Nebenbedingungen?
Warum muss für Extrema unter Nebenbedingungen h = 0 null sein und der Gradient von h ≠ 0?
(h ist die Nebenbedinung)
Hier steht die ganze Aussage und es wird hier statt g ein h für die Nebenbedingung genutzt:
2 Antworten
h=0 muss gelten, weil das die Nebenbedingung ist. Du willst das Minimum aller Punkte x finden, die h(x) =0 erfüllen.
Der Gradient darf für das Verfahren nicht 0 sein, da es dann Funktionen geben kann, wo das Verfahren nicht funktioniert, da der Bereich, der von der Nebenbedingung beschrieben wird, nicht mehr regulär ist.
Ein Beispiel dazu kannst du hier finden:
Die Punkte, wo der Gradient 0 ist, musst du, wie bei Wikipedia beschrieben, extra betrachten.
Ein Extremwert kann nur dann als solcher betrachtet werden, wenn er tatsächlich auf dem Bereich liegt, für den die Funktion definiert ist. Die Nullstelle von h(x) definiert dabei den Bereich, auf dem die Funktion definiert ist.
Wenn h(x) = 0, dann liegt x auf dem Bereich, auf dem die Funktion definiert ist. Wenn h(x) ≠ 0, dann liegt x nicht auf dem Bereich, auf dem die Funktion definiert ist.
Daher ist es wichtig, dass h(x) = 0 sein muss, um ein Extremum zu identifizieren. Außerdem müssen wir sicherstellen, dass x auf dem Bereich liegt, auf dem die Funktion definiert ist.
Der Gradient von h(x) zeigt uns die Richtung an, in der sich die Funktionswerte ändern. Wenn der Gradient von h(x) ≠ 0 ist, dann ändern sich die Funktionswerte in x-Richtung. Das bedeutet, dass es eine eindeutige Richtung gibt, in der die Funktion ansteigt oder abfällt. Wenn der Gradient von h(x) = 0 ist, dann ändern sich die Funktionswerte nicht in x-Richtung.
Daher ist es wichtig, dass der Gradient von h(x) ≠ 0 ist, um sicherzustellen, dass es eine eindeutige Richtung gibt, in der die Funktion ansteigt oder abfällt. Wenn der Gradient = 0, dann kann es sein, dass es sich um ein Plateau handelt und kein eindeutiges Extremum vorliegt.