Kurvendiskussion mit Funktionsschar?
Hallo.
Weiß einer von euch, wie man in einer Kurvendiskussion fa (x)= x²-2ax+1 bei einer Kurvendiskussion verfährt? Ich verstehe z.B. nicht, wie ich mit Buchstaben in der PQ- Formel rechnen soll. Ich möchte nicht die Aufgabe vorgerechnet haben, sondern lediglich wissen, wie ich mit solchen Buchstaben rechne.
4 Antworten
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das a behandelt man wie eine Zahl , die man aber nicht mit anderen Zahlen zusammenfassen kann.
Beispiel:
die Ableitung von f(x) = ax³ + 2ax² + 8a ist 3ax² + 6ax
und hier x²-2ax+1 wäre bei der PQ-Formel p = -2a............... -p/2 also a
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Danke, aber ich muss unbedingt wissen, wie ich z.B. erstens -2a:2² zuverlässig ausrechne oder dann die Wurzel daraus und aus -1 berechne.
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Nun, du mußt dir als erstes die pq-Formel her nehmen um mögliche Nullstellen zu berechnen. Setze in der Formel einfach für p 2a ein. Dann erhälst du Nullstellen, die natürlich von a abhängig sind. Überlege dir zunächst, für welche a die Nullstellen überhaupt definiert sind, d.h. für welche a die Diskriminante => 0 ist.
Hinweis: Wenn du a^2 => 1 heraus bekommst bist du auf dem richtigen Weg :-).
Nun mußt du noch den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von a berechnen und du bist im wesentlichen fertig. Schau mal wie weit du kommst und wir machen dann ggf. weiter.
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Also, dein Ergebnis ist schon mal richtig. Wie gesagt, nun mußt du zwei Fälle unterscheiden. Was passiert mit der Wurzel, wenn a^2 < 1 (oder äquivalent |a|<1)? Was im gegenteiligen Fall? Einmal hat die Parabel keine Nullstelle, einmal zwei und wenn a^2=1 dann hat sie wie viele? Und was bedeutet eigentlich a^2 = 1?
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Heißt das jetzt, ich setze für a eine Zahl ein, die kleiner als 1 ist und im Gegenteiligen Fall eine, die größer als 1 ist? Und setze ich für den Y- Wert nachher die ermittelten Werte für die Nullstellen oder die Extremstellen ein? Und mache ich das mit dem kleiner als 1 und das Gegenteil nachher auch bei den Extremstellen?
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Außerdem habe ich doch bei mit PQ- Formel ermittelten Nullstellen immer 2 Nullstellen, oder nicht? Was soll ich mit den ermittelten Werten nun machen ( Hab einmal eine Zahl für a eingesetzt, die größer als 1 ist und dann eine, die größer als 1 ist? Ob a größer/ kleiner ist als 1, ist da die 1 auschlaggebend, weil sie das q ist?
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Fast. Du kannst mal konkrete Zahlen einsetzen um einen Überblick darüber zu bekommen was passiert. Besser ist aber du stellst dir im Kopf vor, was es bedeutet für a Zahlen mit der geforderten Eigenschaft einzusetzen.
Der erste Satz deines zweiten Kommentars ist im reellen falsch. Wenn nämlich die Diskriminante (also der Wert unter der Wurzel) < 0 ist, dann gibt es keine reellen Nullstellen. Und ja, das q ist ausschlaggebend für die erforderliche Fallunterscheidung.
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Nachdem ich für a -1 eingesetzt habe, bekam ich 2- Mal die gleiche Nullstelle. Warum?
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Edit* Hab deine Antwort grade erst gesehen, sorry für den letzten Kommentar.
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Wenn ich mir das jetzt vorstelle ( Ich kann mir die Ergebnisse nicht so gut vorstellen, ich weiß nur, dass es bei einem Wert, der größer als 1 ist, 2 Nullstellen geben sollte, aber bei a=1 habe ich nicht wirklich Ideen. Außerdem, was soll ich danach noch mit den Nullstellen machen?
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Muss ich nachher genauso verfahren, wenn ich Extrema berechne und den Y- Wert ausrechne?
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Für die Kurvendiskussion einer Parabel mußt du drei Dinge angeben: Nullstellen, y-Achsendurchgang und Scheitelpunkt. Bei a=1 (oder -1) hast du eine doppelte Nullstelle, nämlich jeweils a. Die ist dann übrigens gleichzeitig der Scheitelpunkt. Nur ein Hinweis, auch bei a kleiner als -1 hast du zwei Nullstellen. Genau das bedeutet a^2 > 1 oder eben |a| > 1.
Und auf deine letzte Frage: ja!
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Dies verwirrt mich leicht.
- Habe ich nur bei -1 eine doppelte Nullstelle, nicht jedoch bei 1.
- Ich dachte, dabei müssen wir Extrema und dann Y- Achsenabschnitt berechnen, aber Scheitelpunkt? Steht auch nicht bei mir im Buch.
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- verstehe ich nicht. Wenn du 1 oder -1 einsetzt erhälst du doch auch 1 oder -1 als jeweils doppelte Nullstelle.
- Das Extremum ist genau der Scheitelpunkt. Schau dir doch die Parabel noch mal an :-).
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Setze ich nachher in den Y- Achsenabschnitt meinen Extrempunkt ein?
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Nein, der y-Achsenabschnitt ist der Durchgang durch die y-Achse, d.h. der Wert den du erhälst wenn du x = 0 setzt. Der ist in diesem Fall unabhängig von a.
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Setze ich bei den Extrema x nicht =0? Da hatte ich bei mir x=a raus. Andernfalls, womit soll ich nun rechnen?
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Im Moment verlierst du glaube ich ein wenig den Faden. Was erhälst du wenn du in der Originalfunktion x = 0 setzt? x = a ist sowieso falsch, denn du hast ja gerade x = 0 gesetzt! Damit bekommst du den y-Achsenabschnitt, also den Punkt an dem die Kurve die y-Achse schneidet.
Für das Extremum kannst du entweder den Scheitelpunkt ausrechnen oder die Ableitung gleich 0 setzen.
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Ok, bei x=a habe ich eigentlich die 1. Ableitung gleich Null gesetzt. Und für den Y- Achsenabschnitt muss ich dann die Originalfunktion gleich null setzen?
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Sorry, jetzt bin ich extrem verwirrt. Um den Y- Achsenabschnitt zu erhalten, setze ich nun also die Originalfunktion gleich null. Aber wie geht das bei x²-2ax+1 Ich weiß, ich muss die 1 rüberziehen, aber der Rest ist verwirrend. Wie setze ich -1= x²- 2ax gleich null und löse so nach x auf? Sorry, wir haben das Thema nur sehr spärlich in der Schule besprochen und ich bin kein guter Matheschüler.
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Sorry, jetzt bin ich extrem verwirrt. Um den Y- Achsenabschnitt zu erhalten, setze ich nun also die Originalfunktion gleich null.
NEIN! Du setzt x = 0 in die Orginalfunktion f(x) = x^2 - 2ax + 1 ein und erhälst 1! Sorry...
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Danke, aber warum nehme ich x=0? Ist das, weil ich nach wie vor nicht weiß, was a ist?
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na geht doch. Ich hoffe du hast aus der Diskussion etwas mit genommen :-).
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Hallo,
Du rechnest nach den gleichen Rechenregeln wie bei Zahlen.
p=-2a und q=1. -p/2 ist daher a.
x1;2 daher a±Wurzel (a²-1).
Herzliche Grüße,
Willy
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naja, du machst das genauso wie mit Zahlen
-p/2 = +a
und unter der Wurzel hast du
a² - 1
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Soweit bin ich gekommen, aber das Problem ist ja, dass ich damit nicht weiterrechnen kann.
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Genau diese Nullstellen sind die Stelle, mit der ich kaum weiterkomme. Ich habe weitergerechnet und jetzt x1/2= a+_ ( Wurzel aus a ( Bereits quadriert)-1). Aber wie soll ich das unter dem Wurzelzeichen rechnen? Buchstabe bleibt Buchstabe, ob ich ihn als Zahl behandele oder nicht.