Kurvenschar, Extrema?
Meine Funktionsschar lautet: x^3 + (3-3a)x^2- 12ax
Ich hab bereits die 1. Ableitung :
3x^2+6x-6ax-12a
Nun soll ich die extrema berrechnen Aber ich weiß einfach nicht wie..Ich kann weder X ausklammern noch das in die pq-Formel einsetzen....
4 Antworten
Die 1-te Ableitung ist falsch.
f´(x) = 3 * x ^ 2 + 6 * (1 - a) * x
Davon jetzt die Nullstellen ausrechnen.
f(x) = x ^ 3 + (3 - 3 * a) * x ^ 2 - 12 * a * x
f(x) = x ^ 3 + 3 * (1 - a) * x ^ 2 - 12 * a * x
f´(x) = 3 * x ^ 2 + 6 * (1 - a) * x - 12 * a
3 * x ^ 2 + 6 * (1 - a) * x - 12 * a = 0 | : 3
x ^ 2 + 2 * (1 - a) * x - 4 * a = 0
Die pq-Formel lautet :
x _ 1, 2 = - (p / 2) ∓ √( (p / 2) ^ 2 – q )
Nun musst du identifizieren, was was ist -->
p = 2 * (1 - a)
q = -4 * a
p / 2 = 1 - a
(p / 2) ^ 2 = (1 - a) ^ 2 = 1 ^ 2 - 2 * 1 * a + a ^ 2 = 1 - 2 * a + a ^ 2
(Das ist die 2-te binomische Formel)
Jetzt diese Identitäten in die pq-Formel einsetzen :
x _ 1, 2 = - (1 - a) ∓ √( (1 - 2 * a + a ^ 2) – (-4 * a) )
x _ 1, 2 = (a - 1) ∓ √(1 - 2 * a + a ^ 2 + 4 * a)
x _ 1, 2 = (a - 1) ∓ √(1 + 2 * a + a ^ 2)
Das lässt sich wieder in eine binomische Formel zurückverwandeln -->
x _ 1, 2 = (a - 1) ∓ √((a + 1) ^ 2)
Das ...^ 2 und die √(...) heben sich auf -->
x _ 1, 2 = (a - 1) ∓ (a + 1)
x _ 1 = (a - 1) - (a + 1) = -2
x _ 2 = (a - 1) + (a + 1) = 2 * a
Das sind jetzt aber nur die Extremwertstellen und noch nicht die vollständigen Extremwertpunkte.
Dazu musst du sie noch in die Originalfunktion einsetzen -->
f(x) = x ^ 3 + 3 * (1 - a) * x ^ 2 - 12 * a * x
f(-2) = (-2) ^ 3 + 3 * (1 - a) * (-2) ^ 2 - 12 * a * (-2)
f(-2) = -8 + 12 * (1 - a) + 24 * a
f(-2) = 12 * a + 4
f(2 * a) = (2 * a) ^ 3 + 3 * (1 - a) * (2 * a) ^ 2 - 12 * a * (2 * a)
f(2 * a) = 8 * a ^ 3 + 12 * a ^ 2 - 12 * a ^ 3 - 24 * a ^ 2
f(2 * a) = - 4 * a ^ 3 - 12 * a ^ 2
f(2 * a) = - (4 * a ^ 3 + 12 * a ^ 2)
Nun kennst du die vollständigen Extremwertpunkte :
(-2 | 12 * a + 4)
(2 * a | - (4 * a ^ 3 + 12 * a ^ 2))
fa(x)=x³+(3-3a)x²-12a
f'a(x)=3x²+2(3-3a)x=3x(x+2-2a)=0
x=0 oder x=-2+2a
f"a(x)=6x+6(1-a)=6(x+1-a)
f"a(0)=6-6a bei x=0 ist ein Maximum für a>1 und ein Minimum für a<1
f"a(-2+2a)=-12+12a+6-6a=-6+6a bei x=-2+2a ist ein Maximum für a<1 und ein Minimum für a>1
Die 1. Ableitung ist 3x^2 + 6x - 6ax, die Konstante fällt beim Ableiten weg.
Sorry da sollte ein 12ax am Ende stehen bei der Ausgangsfunktuon
Am Ende sollte ein 12ax bei der Ausgangsfunktion stehen Sorry