Kurvendiskussion - Annäherung an die Asymptote
Schreibe morgen eine E-Kurs Klausur über Kurvendission. Dafür muss ich auch berechnen können von welcher RIchtung die Funktion sich der Asymptote nähert, weiß es aber nicht mehr und kann es auch mit Google nicht finden. Ich glaube dass ich den Lim für x gegen unendlich bzw. minus unendlich von irgendwas berechnen muss. Aber von was muss ich diesen Limes berechnen? Würde mich über Hilfe freuen, ist wirklich wichtig :)
2 Antworten
A. Wie bekommst du die Asymptote heraus?
Meist geht es um gebrochen rationale Funktionen. Dann ist der "Trick" (summandenweise) mit der höchsten Potenz des Nenners zu kürzen, so dass möglichst viele Summanden gegen null konvergieren.
Beispiel: Was ist die Asymptoten von
(3 x² - 17x + 53) / ( 6x² -18) für x → ±∞ ?
lim (3 x² - 17x + 53) / ( 6x² -18) =
lim ( (3 x² - 17x + 53) / x² ) / ( ( 6x² -18) / x²) =
lim (3 - 17/x + 53/x² ) / (6 - 18/x² ) 0
(3 + 0 + 0 ) / (6 + 0) = 1/2.
Das funktioniert auch für "schräge Asmptoten", die Funktionen in x sind (d.h. im Zähler bleibt mehr als nur eine Zahl stehen).
B. Wie bekommst du heraus, von wo sich die Funktion ihrer Asymptote nähert? Hier reicht die limes-Schreibweise nicht.
f(x) nähert sich ihrer Asymptote a(x) für x → ∞ von oben , wenn es ein x0 so gibt, dass
für alle x > x0 gilt:
f(x) > a(x) ⇔ f(x) - a(x) > 0;
die rechte Form der Ungleichungs ist dann praktisch, wenn sich die Nullstellen von f(x) - a(x) bestimmen lassen (denn dann ist rechts von der größten Nullstelle das Vorzeichen einheitlich).
Entsprechend für "von unten" mit "f(x) < a(x) ⇔ f(x) - a(x) < 0";
entsprechend "für x → -∞ ", wenn es ein x0 so gibt, dass für alle x < x0 usw.
Der Unterschied ist, dass die von mir vorgestellte Methode auch dann funktioniert, wenn die "Vorfaktor"-Methode nicht funktioniert , z.B.
Was ist die Asymptoten von
(3 x³ - 17x² + 53) / ( 6x² -18) für x → ±∞ ?
lim (3 x³ - 17x² + 53) / ( 6x² -18) =
lim ( (3 x³ - 17x² + 53) / x² ) / ( ( 6x² -18) / x²) =
lim (3x - 17 + 53/x² ) / (6 - 18/x² ) =
(3x -17 + 0 ) / (6 - 0) = x/2 -17/6
Mit (nur etwas) Routine schreibst du auch aus der erste Zeile gleich die vorletzte. Das klappt auch bis morgen noch.
(Fortsetzung folgt.)
Beispiel:
f(x) = (x^4 -x² +1) / (x -1)
= x²(x² -1) / (x -1) + 1 / (x-1)
mit dritter binomischer Formel:
= x²(x+1) + 1/ (x-1)
= x³ +x² + 1/(x-1),
das gleiche Ergebnis mit Polynomdivision.
Wegen lim 1/(x-1) 0 für x → ± ∞ist
lim f(x) = x³ +x² = a(x) (schräge Asymptote). - Wegen
f(x) - a(x) = 1/(x-1) > 0 für x > x0 = 1
nähert sich f(x) für x → + ∞ der Asymptote von oben; wegen
f(x) - a(x) = 1/(x-1) < 0 für x < x0 = 1
nähert sich f(x) für x → - ∞ der Asymptote von unten.
Klarer?
WARNUNG. Ich stellte gerade fest, dass eine Umformung wie etwa
Für x →± ∞ ist lim f(x) =
lim (x^4 -x² +1) / (x -1) =
lim (x³ -x +(1/x) ) / (1 -1/x)
den falschen Schluss nahelegt, dass die Asymptote x³ -x wäre.
Das klappt nicht, weil sich der Grenzwert nicht entsprechend als Summe des Grenzwerts der einzelnen Summanden in Zähler und Nenner darstellen lässt, es "sieht aber so aus". Vergiss also meinen diesbezüglichen Hinweis, und mache Polynomdivision, um eine schräge Asymptote herauszufinden. Das klappt sicher.
Merkwürdig, dass da immer wieder gefragt wird. Man erkennt, dass die Limesrechung die Leute verwirrt.
Für die Vorstellung bei dir selbst gibst du am besten ein oder zwei größere x in deinen Rechenknecht ein, z.B.bei
7 - (1/x)
Du siehst bltzartig, wie weit die Kurve dann noch von 7 weg ist.
Und analog bei anderen Kurven.
Aber aufpassen, wenn bei positiven und negativen großen x verschiedene Werte auftauchen, weil sich der Asymptote von zwei Richtungen her angenähert wird!
Ich meine eine schiefe oder gekrümmte Asymptote, nicht die Senkrechtasymptote einer Pollstelle... und wie sollte sich einer Asymptote aus zwei Richtungen genähert werden, dann würden ja einer Stelle mehrere Funktionswerte zugeordnet werden, was bekanntlich unmöglich ist.
7 - 1/x hat nicht nur eine senkrechte Asymptote (x = 0), sondern auch eine waagerechte ( y = 7).
Volens behauptet nicht, dass für die gleichen Funktionswerte eine Näherung einmal von oben und einmal von unten erfolgt, sondern einmal für hinreichend große und einmal für hinreichend kleine (...genau lesen).
Zum Problem schräge Asymptote siehe mein Beitrag.
Also zu dem mit Asymptote bestimmen: Wir haben gelernt dass wenn wie in deinem Beispiel Grad von Zähler- und Nennerpolynom gleich sind (was in unserer Klausur nicht vorkommt, da es der Lehrerin zu einfach ist), man einfach den Vorfaktor vom "höchstgradigen" x als Asymptote bestimmen kann. D.h. in deinem Beispiel dann 3/6 = 1/2. Deine Berechnung läuft ja auf dasselbe hinaus ist aber halt ein wenig aufwendiger.
Dann zu der Näherung der Asymptote: Ich verstehe dass immer noch nicht so ganz mit der Ungleichung, kannst du es vielleicht biite einmal mit deiner Beispielfunktion vorrechnen?