Krümmungsruckfrei?
Wie geht man konkrrt vor wenn man zwei Funktionen Krpmmungsruckfrei verbinden möchte. Ich habe oft gelesen, dass man die Beisoielsweise f''(x) = g''(x) setzten muss. Aber wie geht man da genau rechnerisch voran.
1 Antwort
2 Graphen sind an einer Stelle x0 krümmungsruckfrei, wenn dort sowohl die Funktionswerte gleich sind, damit man keinen Sprung drin hat, als auch die Steigung gleich ist, damit man keinen Knick hat, und die zweite Ableitung gleich ist, damit sowohl die Krümmung als auch deren Stärke gleich ist, d. h. die Stärke der Steigung (erst einmal) gleich ist.
D. h. Du erhältst ein Gleichungssystem mit den Gleichungen f(x0)=g(x0), f'(x0)=g'(x0) und f''(x0)=g''(x0), wobei z. B. f die vorliegende Funktion ist und g diejenige (allgemeine), die krümmungsruckfrei an f an der Stelle x0 anschließen soll.
Einfaches Beispiel: f(x)=x² ist gegeben und bei x0=1 soll ein krümmungsruckfreier Übergang auf eine "beliebige" Funktion g 3. Grades entstehen:
g(x)=ax³+bx²+cx+d
g'(x)=3ax²+2bx+c
g''(x)=6ax+2b
f(1)=1=g(1)=a+b+c+d => (I) 1=a+b+c+d
f'(1)=2=g'(1)=3a+2b+c => (II) 2=3a+2b+c
f''(1)=2=g''(1)=6a+2b => (III) 2=6a+2b
Wie Du siehst, hast Du 3 Gleichungen und 4 Unbekannte, d. h. es gibt unendlich viele Lösungen. In der Regel sollte noch eine weitere Bedingung gegeben sein. Ich habe daher oben das Wörtchen "beliebig" eingefügt, d. h. wähle hier der Einfachheit halber a=1 und rechne alles aus:
a=1 => (III) 2=6+2b <=> b=-2 => (II) 2=3+2(-2)+c <=> c=3 => (I) 1=1-2+3+d <=> d=-1
f'' und g'' müssen nicht beide Null sein, d. h. der Übergang muss für beide Funktionen keine Wendestelle sein! Wichtig ist, dass sowohl Funktionswerte und die ersten beiden Ableitungen gleich sind, damit ein "sehr sanfter" Übergang entsteht.
Soweit habe ich das verstanden. Aber das mit dem Gleichungssystem verstehe ich nicht ganz. Kannst du a
Das mit f''(x) = g''(x) =0 usw. Vllcht an einem konkreten Beispiel sagen