Kern und Bild einer linearen Abbildung bestimmen?
Hey Leute, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Die Aufgabenstellung steht oben drüber. Ich weiß, dass bei einer linearen Abbildung stets F(0) = 0 ist. Trotzdem weiß ich jetzt nicht so genau, wie ich nun vorgehen soll. Danke für hilfreiche Antworten
1 Antwort
Bild:
Das Bild wird erzeugt von F(0,1) und F(1,0).
F(1,0)=(1,1,1) und F(0,1)=(-1,0,1)
=> Bild F = Lin((1,1,1),(-1,0,1))
Die beiden Vektoren sind linear unabhängig.
Kern:
dim Bild F + dim Ker F = dim IR^2
=> dim Ker F = dim IR^2 - dim Bild F = 2 - 2 = 0
=> Ker F = 0
Für jedes (x,y) in IR^2 gilt F(x,y)=xF(1,0)+yF(0,1), weil F linear ist. Deshalb wird das Bild von F(1,0) und F(0,1) erzeugt. (F(0,1) und F(1,0) bilden eine Basis des Bildes).
"erzeugt" heißt, dass jedes Element des Bildes eine Linearkombination von F(0,1) und F(1,0) ist.
Als Lösungsmenge ist das {(x-y,x,x+y)|x,y in IR}.
Ja, dim steht für Dimension.
dim IR^2 ist ja bekanntlich 2.
dim Bild F ist 2, da Bild F=Lin((1,1,1),(-1,0,1)) und diese beiden Vektoren linear unabhängig sind. Die Basis des Bildes hat also zwei Elemente.
dim Bild F + dim Ker F = dim IR^2 ist die Dimensionsformel für Kern und Bild.
Vielen Dank schonmal für deine Antwort! Paar Fragen habe ich aber noch :-)
"Das Bild wird erzeugt von F(0,1) und F(1,0)" --> ist das eine Rechenregel oder gelten diese Werte nur hier im Beispiel?
Und dann hast du die Werte einfach in die Funktion eingegeben und dann kommt sofort das Bild, also die Lösungsmenge, raus? Cool, das ist einfacher als gedacht :D
Und bei dem Kern:
Wofür steht das dim, wahrscheinlich für Dimension nicht wahr? Aber was bedeutet dieses dim?
Und wie bist du bei der Errechnung des Bilds auf = 2 -2 = 0 gekommen? Also woher hast du diese Werte genommen?