Spiegelung im dreidimensionalen Raum - Matrix erstellen?
Hi, befasse mich gerade mit der Aufgabe hier und hätte nur ne kurze Frage dazu:
Bestimmen Sie die Matrix der folgenden linearen Abbildung R^3 -> R^3 bezüglich der Standardbasis: Spiegelung an der Ebene E mit E: x1+x2-2x3=0
Also ich hab davor eine Aufgabe bei der es um Spiegelung im 2-dimensionalen an einer Geraden ging einfach diese Householder-Formel hier benutzt(hatten die aber komischerweise nicht in der Vorlesung):
https://de.wikipedia.org/wiki/Householdertransformation
kann ich diese Formel also H=(...) jetzt auch einfach hier anwenden mit v=(1 1 -2)?
mfg
5 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/michiwien22/1558864367180_nmmslarge__101_0_186_186_a55bbd11e4dc916ca856e2e974d91619.png?v=1558864367000)
Wieso Formel? Das kann man ja ganz leicht überlegen...
Siehe Skizze:
Sei P ein Punkt auf der Ebene und X der zu spiegelnde Punkt.
Der Vektor m ist dann die Projektion von (x-p) auf n mal n,
also (hier ist · das innere Produkt):
m = n { (x-p)· n }
Wir lesen ab:
x'-p + 2m = x-p
also
x' = x - 2m
bzw.
x' = x - 2 n { (x-p)· n }
Da die Ebene durch den Ursprung geht können wir P=(0,0,0) setzen:
x' = x - 2 n { x·n }
Daraus kannst du ganz leicht die Matrix ablesen...
![- (Schule, Mathematik, Physik)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/238833551/0_big.png?v=1487242705000)
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Eine Skizze MUSS man sich machen bei solchen Aufgaben ;-)
Die gesuchte Matrix R transformiert einen Punkt X = (x,y,z) in den Punkt X' = (x', y', z'):
X' = R · X
In der Aufgabe ist der Punkt X natürlich nicht explizit gegeben, da der Zusammenhang ja für alle Punkte gilt und nur R gesucht ist. Trotzdem kann man sich überlegen, was mit einem Punkt X passiert und erhält so die Matrix R.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Achso ok alles klar, ich hab es mit mal mit der formel gemacht und kam nach 3 minuten auf diesselbe matrix ohne groß nachzudenken , in der klausur benutze ich lieber die formel geht um einiges schneller aber gut, es einmal verstanden zu haben ist auch nicht verkehrt ^^
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Das unter deinem Link angegebene Verfahren ist bei näherer Betrachtung völlig identisch zu meinem.
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![](https://images.gutefrage.net/media/user/michiwien22/1558864367180_nmmslarge__101_0_186_186_a55bbd11e4dc916ca856e2e974d91619.png?v=1558864367000)
Der Normalenvektor ist
n = (1 | 1 | -2) / wurzel(6)
Daher ist der gespiegelte Punkt
x' = x - 2 n (x · n)
Das kann man dann ganz leicht auf eine symmetrische Matrixform bringen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ok danke habe Spiegelungen nicht so ganz verstanden , welche Formel hast du da jetzt benutzt?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Der Normalenvektor der Ebene, nämlich n =(1,1,-2), wird durch die gesuchte Spiegelungsmatrix S zum entgegengerichteten Vektor -n.
Vorschlag;
Drehe das Koordinatensystem durch eine Drehmatrix D so, daß n proportional zu (0,0,1) wird. Die Spiegelungsmatrix S1 ist dann eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen 1, 1, -1.
Im Originalsystem wird die Spiegelung dann durch die Matrix S = D^(-1) S1 beschrieben.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Also aus der Spiegelung einfach eine 180 Grad Drehung machen?Aber wieso soll n proportional zum 3. Basisvektor werden und wie kommst du auf S1? Kann ich denn nicht einfach diese Householder-Formel hier anwenden, weil hab in der Aufgabe davor schon eine Drehmatrix in R3 erstellt.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/poseidon42/1460229407172_nmmslarge__0_0_383_383_3768e5723c9484f0368755f73e303a0e.jpg?v=1460229409000)
Projeziere Einfach die Punkte auf die Ebene.
Berechne den Differenzvektor zwischen Ebene und Punkt.
--> Neue Position des Punktes ist dann der Punkt auf der Ebene -/+
Differenzvektor.
Das ganze kannst du dann noch in eine Matrix übersetzen und du bist fertig.
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Warum beschreibst du die Koordinatentransformation nicht einfach?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wie meinst du das jetzt genau? Drehungen hab ich verstanden in R2, R3 aber spiegelungen noch nicht so wirklich, deshalb dachte ich nimm ich einfach diese Formel, geht das nicht?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/michiwien22/1558864367180_nmmslarge__101_0_186_186_a55bbd11e4dc916ca856e2e974d91619.png?v=1558864367000)
Ahh ok mit der Skizze hab ich es jetzt verstanden danke :) , aber ich habe ja gar keinen zu spiegelnden Punkt gegeben, sondern nur den normalenvektor n ?