Keine Nullstellen?
Eine Sache, die mir bei Aufgaben zur Funktionsuntersuchung immer etwas schwer fallen, ist die mathematische Herleitung vom Beweis, dass eine Funktion keine Nullstellen hat.
Beispiel: Die e-Funktion f(x)= x * e^-2x + 2
Wie beweise ich rechnerisch oder auch mathematisch, dass die Funktion niemals Null werden kann?
6 Antworten
Du hast die Formel nicht exakt aufgeschrieben, denn es gibt mehrere Interpretationen:
a) 0=x * e^(-2x)+ 2 -> hat Nullstelle bei -LambertW(4)/2 = -0.60108393659852146961... (habe ich hier schon zig mal beschrieben http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php )
b) 0=|x| * e^(-2x)+ 2 hat nur Nullstellen im komplexen Zahlenbereich (also keine bei Euren reellen Zahlen) -> kann man mit 3 Fällen beweisen: <0 ; 0 ; > 0
c) 0=x * e^(-2)*x+ 2 = 1/e² * x² +2 -> quadratische Gleichung
kann man mit pq-Formel beweisen, dass nur komplexe Nullstellen -> also keine im reellen Zahlenbereich
Kannst du mir vielleicht einen kleinen Tipp geben, wie ich zu der Nullstelle gelange?
Mit Schulmitteln geht das nicht. Was du machen kannst, ist halt eine ungefähre Lösung aus der Zeichnung ablesen.
Da mein LINK und meine zig Antworten ignoriert wurden (und LambertW als Umkehrfunktion von x * e^x in der Schule auch nicht bekannt ist)
zeige ich, wie man eine selbstkonvergierende Iterationsformel erstellt:
0=x * e^(-2x)+ 2 | -2
-2 = x * e^(-2x) | /x
e^(-2x) = -2/x | log
-2x = log(-2/x) | /(-2)
x = -log(-2/x)/2
Man startet nun mit einem geschätzten Näherungswert (hier -0.5), und setzt diesen in die Formel ein.
Da die Formel konvergiert (gegen einen Grenzwert strebt) ist das Ergebnis ein besserer Näherungswert, als der Startwert.
Das ganze so lange, bis gewünschte Genauigkeit erreicht.
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@N@B0]=-0.5;@N@Bi+1]=-log(-2/@Bi])/2;@Ni%3E199@N0@N0@N#
(LINK endet mit N# und beinhaltet Formel )
Nach etwa 186 Iterationen ist die double-Genauigkeit erreicht.
Später lenst Du, wie man z.B. mit Newton Iteration die Konvergenzgeschwindigkeit verbessern kann. ( weniger als 7 Iterationen)
Achtung: manchmal sind es Fangfragen und der Wertebereich ist wichtig. Wenn x> 0 sein soll, bekommt man keine reelle Nullstelle.
mit x als Vorfaktor und der 2 als konstantem Glied, weiß ich nicht,
aber bei e^(ax) = 0 → ax = ln 0 und ln 0 ist nicht definiert.
Wie beweise ich rechnerisch oder auch mathematisch, dass die Funktion niemals Null werden kann?
Du musst zeigen, dass die Gleichung f(x)=0 keine Lösung hat. Da so ein "f(x)" ganz verschieden aussehen kann, gibt's kein "Kochrezept", wie du dir das (vermutlich) vorstellst.
Beachte jedoch, dass ausgerechnet dein Beispiel sehr wohl eine Nullstelle hat! Mach mal eine Wertetabelle und zeichne die Funktion!
Die Funktion hat einfach eine Nullstelle... Beweis: Sie ist stetig auf ganz IR und nimmt einen positiven Wert (bei x = 0) und einen negativen Wert (bei x = -1) an. Also muss zwischen -1 und 0 eine Nullstelle liegen.
Na hoffentlich schaut sich der Fragesteller deine Antwort noch an. Zwischen dem ganzen anderen Krimskrams ist sie ja etwas schwierig zu entdecken :-)
Wenn die Formel nicht entgültig gelöst werden kann. Also wenn in der Wurzel eine negative Zahl steht(: Denn aus negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen.
Hoff du weißt was ich mein, mfg;*
Ja, ich weiß absolut, was du meinst und stimme dir zu, bei so einem eindeutigen Fall wäre die Erklärung nicht schwierig zu erbringen. Aber zum Beispiel in Bezug auf eine etwas komplexere Funktion, wie zum Beispiel f(x)= x * e^-2x + 2
Wie sieht es da aus?
Sorry, bin achte Klasse und hab in Mathe sicherlich keine 1 hahah... und das Thema hatten wir auch noch nicht so ausführlich. Kann dir leider nicht weiterhelfen:/
Stimmt, sorry :P Hab die Formel nicht richtig aufgeschrieben. Der zutreffende ist Fall a) x * e^(-2x)+ 2 mit einer Nullstelle bei -0,601...usw.
Ich werde diese Aufgabe morgen in Mathe mal ansprechen, aber es wäre cool, wenn ich dann schon mit Wissen glänzen könnte... Kannst du mir vielleicht einen kleinen Tipp geben, wie ich zu der Nullstelle gelange? Wäre zwar besser, ich würde allein drauf kommen, aber ich stehe total auf dem Schlauch, wegen dem ^-2x. :( Wie bekomme ich das bloß weg?
Ich hatte mir die Funktion von einem Programm zeichnen lassen, aber falsch angegeben, und deshalb hat es mir dann eine Funktion ohne Nullstellen gezeichnet und ich nahm an, das würde stimmen