Kann mir jemand helfen, zum Lösen beigefügter Ungleichung?
Bin wirklich verzweifelt, habe alle Tricks ausgepackt, komme aber einfach nicht weiter…
Beweise, dass für x,y > 0 immer gilt;
x·y + y/x + 1/y ≥ √8
Wann gilt Gleichheit?
Ich bedanke mich schon im Voraus für alle Antworten und ich wünsche euch allen einen schönen Sonntag!
2 Antworten
x * y + y / x + 1 / y ≥ √8
nach y umgestellt:
y = √(2) * x / (x² + 1) +- (1 / (x² + 1)) * √(x * (2 * x - x² - 1))
Der Wert unter der Wurzel muss größer oder gleich Null sein. Das ist nur für x = 1 der Fall, daher
x = 1
y = 1 / √2
Daher ist x = 1 auch das Maximim der o.g. Funktion.
Das Maximum erhält man alternativ zur Rechnung von Rammstein53 auch über implizites Ableiten:
y'(x) = -Fx / Fy = - (y - y * x^-2) / (x + x^-1 - y^-2)
0 = - (y - y * x^-2) für (x + x^-1 - y^-2) ≠ 0
-y + y * x^-2 = 0
-y * x² + y = 0
y * (1 - x²) = 0
x = 1
f(x,y) = x*y + y/x + 1/y
##
f'(x,y)dx = y - y/x²
f'(x,y)dy = x + 1/x - 1/y²
f'(x,y)dx = 0 für x = +1, -1, y beliebig, negative Lösung entfällt.
f'(x,y)dy = 0 (mit x = 1), y = -1/sqrt(2), y = +1/sqrt(2), negative Lösung entfällt
##
f''(x,y)dx = 2y/x³
f''(x,y)dy = 2/y³
Da die zweiten Ableitungen für (1, 1/sqrt(2)) > 0 sind, ist das ein Minimum
f(1, 1/sqrt(2) ) = 2 * sqrt(2) = sqrt(8)
steht doch alles da . Was konkret kannst du denn nicht nachvollziehen und warum ? Kennst du denn Ableitungen
Und welche Tricks hattest du ausgepackt ?
Nein, Ableitungen und Differentialrechnungen haben wir noch nicht behandelt, uns wurde gesagt, dass man auf die Lösung mittels der AM-GM-Ungleichung kommen kann.
Mit „Tricks“ meine ich klassische Umformungen bzw. logisches Argumentieren
Könntest du vielleicht auch erklären, was du rechnest?