Kann mir jemand einen Ansatz geben wie Aufgabe 13c) zu lösen ist?
Ich weiß wie man Nullstelle bekommt mich verwirrt nur wie ich eine Parabel aufstellen soll die beide Punkte hat ..
5 Antworten
f (x) hat drei Nullstellen. Eine ist an der x-Stelle 0.
Wenn du nun bei f(x) x² ausklammerst erhälst du den Term:
- 0,5 x² + 2
Nun sei h(x) = - 0,5x² + 2
Die beiden äußeren Nullstellen von f(x) sind gleich der beiden Nullstellen von h(x).
0 = - 0,5 x² + 2
4 = x²
x1 = 2; x2 = -2
An diesen Stellen soll auch g (x) die x-Achse schneiden.
g (x) = a - b x²
Also:
g (2) = 0
g (-2) = 0
0 = a - b 2² (I)
0 = a - b (-2)² (II)
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Aus beiden Formeln folgt:
a = 4 b
Somit gibt es mehrere Lösungen. a und b können auch negativ sein. Keine Ahnung, warum in der Aufgabe positive a´s und b´s verlangt werden.
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Edit: Achso, berühren heißt nicht schneiden. Willy hat vollkommen Recht.
Die Parabel g(x) = a - bx² (a, b > 0) soll den Graphen von f in den beiden äußeren Nullstellen berühren. Bestimmen Sie a und b.
f(x) = -1/2 * x⁴ + 2x²
Dazu bestimmen wir erst die beiden äußeren Nullstellen von f:
-1/2 * x⁴ + 2x² = 0
x²(-1/2 * x² + 2) = 0
Satz des Nullprodukts: x = 0 ∨ -1/2 * x² + 2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±2
Die beiden äußeren Nullstellen liegen also bei x = -2 und x = 2.
Jetzt soll eine quadratische Funktion der Form g(x) = a - bx² den Graphen von f bei den beiden Nullstellen bei x = ±2 berühren. Berühren bedeutet immer, dass die Graphen sich nicht schneiden, an Berührpunkten müssen die Ableitungen der beiden Graphen übereinstimmen.
Also muss gelten f'(-2) = g'(-2) sowie f'(2) = g'(2)
Außerdem können wir die Nullstellenform für g aufstellen, denn wir haben ja die beiden Nullstellen gegeben:
g(x) = k*(x + 2)(x - 2) (= k*(x² - 4) = kx² - 4k)
Jetzt noch beide Funktionen ableiten:
f'(x) = -2x³ + 4x
g'(x) = 2kx
Jetzt gleichsetzen (es reicht schon eine der beiden Gleichungen):
f'(-2) = g'(-2)
-2*(-2)³ + 4*(-2) = 2k*(-2)
(-2)⁴ - 8 = -4k
8 = -4k
k = -2
Also: g(x) = -2(x + 2)(x - 2) = -2(x² - 4) = -2x² + 8 = 8 - 2x²
Und damit hast du a = 8 und b = 2
Hallo,
zunächst mußt Du die Nullstellen bestimmen:
f(x)=-0,5x^4+2x^2
Ausklammern von -0,5x²
f(x)=-0,5x²*(x²-4)
Nullstellen: 0,-2,2, die beiden äußeren also -2 und 2.
g(x)=a-bx² braucht die gleichen Nullstellen, hat also die Form
c*(x+2)*(x-2)=c*(x²-4)
Da die Funktionen sich an den Nullstellen berühren sollen,
müssen f'(-2) und g'(-2) sowie f(2) und g(2) übereinstimmen.
f'(x)=-2x³+4x
g'(x)=c*2x
f'(-2)=8
f'(2)=-8
Dann muß c*2*(-2) auch 8 ergeben: Also c=-2
c*2*2 ergibt für c=-2 -8, paßt also.
g(x)=-2*(x²-4)=-2x²+8=8-2x²
a=8, b=2
Herzliche Grüße und guten Rutsch,
Willy
die beiden äußeren Nullstellen N1 und N2 berechnen:
dann
g'(N1) = f '(N1)
so bekommst du b
Kannst sie in die scheitelpunktform umwandeln Oder ?