Mathe funktion 3. Grades mit nullstellen bestimmen?
Hallo :) Ich habe eine Probeklausur und die endaufgabe, die daher am schwierigsten ist und die meisten punkte beträgt lautet: a) Bestimmen sie eine ganzr. funktion 3. grades mit den nullstellen x= 1 x=-1 und x=5 Und dazu noch b) Welche veränderung muss man bei a) machen damit der graph durch den Punkt (3/-3) verläuft mit dem Ansatz: g(x)= a x f(x) und g(-3) = 3 Kann jemand diese aufgaben vielleicht lösen und erklären wie er/sie vorangegangen ist? LG und danke im voraus
2 Antworten
a) Die Funkltion mit den Nullstellen +1, -1 und 5 heißt:
f(x) = a (x - 1) (x + 1) (x - 5)
Das kann man ausrechnen:
f(x) = a (x³ - 5x² - x + 5)
b) Wenn du P(x=3|y =-3) einsetzt, ergibt sich
a (3³ - 5* 3² - 3 + 5) = -3
-16 a = -3
a = 3/16
Die Gleichung y = 3/16(x³ - 5x² - x + 5)
müsste alle Bedingungen erfüllen.
Du kannst auch noch die 3/16 mit einklammern, aber das überlasse ich
jetzt dir.
Vorgangsweise:
Ich habe erst die Nullstellen in Linearfaktoren verwandelt und dann eine Funktion daraus berechnet. Da alle Produkte daraus durch dieselben Nullstellen gehen, habe ich die Koordinaten von P eingesetzt, um den Faktor a zu erhalten.
a)
Benutze Produktdarstellung eines Polynoms 3.Grades:
P(x) = a*(x - 1)(x + 1)(x - 5) , a aus IR\{0}
b)
Wähle P(x) wie oben, letzter Freiheitsgrad liegt in a. Damit erfolgt die Anpassung an die Problemstellung durch Anpassung von a.
P(3) = a*(2)(4)(-2) = (-16)*a
Es soll gelten: P(3) = (-3)
Somit dann insgesamt:
(-16)a = (-3)
Wir erhalten also:
a = 3/16
Das gesuchte Polynom lautet also:
P(x) = (3/16)*(x - 1)*(x + 1)*(x - 5)