kann mir jemand die Stochastikaufgabe erklären?
Hallo, ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe und hoffe ihr könnt mir helfen.
"Von den 100 Beschäftigten eines Betriebes kommen durchschnittlich 40% mit einem eigenen Auto zur Arbeit. Mit welcher Wahrscheinlichkeit genügt ein Parkplatz mit 50 Plätzen?" Ich rechne meist mit dem GTR
2 Antworten
Das sollte helfen, für den Fall dass dein GTR auch mit befehlen bedient werden kann, versuch doch mal binomcdf(100,0.4,0,50)
Hallo,
wenn Du die kumulative Binomialverteilung auf dem Rechner hast, gibst Du k=50, n=100 und p=0,4 ein und kommst auf eine Wahrscheinlichkeit von
98,32 %.
Du berechnest damit die Summe aller Wahrscheinlichkeiten dafür, daß 0 bis 50 Personen mit dem Auto zur Arbeit kommen.
Da im Schnitt nur 40 Personen mit dem Auto kommen, ist die Wahrscheinlichkeit relativ hoch, daß die 50 Parkplätze reichen.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn Dein Rechner Integrale beherrscht, kannst Du auch eine Näherung über die Normalverteilung erreichen, was immer dann geht, wenn die Varianz, also das Produkt aus Erwartungswert und Gegenwahrscheinlichkeit, größer als 9 ist.
Dazu verwendest Du folgende Formel:
P={1/[√(2π)*σ]}*∫e^{-0,5*[(x-µ)/σ]²}dx
Dabei ist σ die Standardabweichung, also die Wurzel aus Erwartungswert µ (n*p, hier also 100*0,4=40) und Gegenwahrscheinlichkeit (1-p, hier also 1-0,4=0,6)
40*0,6=24 ist die Varianz, die deutlich größer als 9 ist.
Die Standardabweichung ist daraus die Wurzel, also 4,899.
Dabei mußt Du die Integrationsgrenzen jeweils um 0,5 nach außen erweitern, weil Du Dich der diskreten Binomialverteilung mit einer stetigen Funktion annäherst.
Du suchst ja die Wahrscheinlichkeit für 0 bis 50 Autos.
Deine Integrationsgrenzen sind also 0-0,5=-0,5 und 50+0,5=50,5.
Das Integral kannst Du mit herkömmlichen Methoden nicht berechnen, weswegen Du einen Rechner brauchst, der dies über ein Näherungsverfahren erledigt.
Wenn Du alle Werte eingegeben hast, bekommst Du eine Wahrscheinlichkeit von 98,4 %, die recht nah am genaueren Wert der kumulativen Binomialverteilung liegt.
Der Vorteil bei der Normalverteilung ist, daß sie auch bei sehr großen Zahlen funktioniert. Bei der Binomialverteilung mußt Du mit Binomialkoeffizienten rechnen, die über Fakultäten funktionieren.
Bei sehr hohen Werten streiken da die meisten Rechner, wie z.B. bei 1000 über 200 oder so etwas.
Hier kommst Du mit der Normalverteilung immer noch weiter.
Die einzigen Variablen sind hier der Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ (und natürlich die Anzahl der Treffer, die jeweils um 0,5 nach außen erweitert, die Integrationsgrenzen bilden).
Willy