Kann mir jemand bei Tangentenproblemen helfen?
Die Aufgabe lautet so: f(x)= 1/3x³-1/2x²-2x In welchen Punkten des Graphen hat de Funktion f die Steigung 4? Wie lauten die Tangentengleichungen in diesen Punkten?
2 Antworten
Es ist f'(x) = x² - x -2 . Die Steigung der Tangente soll 4 sein, d.h. für die entsprechenden x-Werte muss gelten: f'(x)=4, also x² - x -2 = 4 ; x² - x - 6 = 0 ; die Lösungen sind also x1= 3 und x2= -2 . Die Gleichung einer Geraden mit Steigung m durch (x0 | y0) ist y - y0 = m * (x - x0) ; setzt man für (x0, y0) die beiden Werte (x1,y1)=(3, -3/2) und (x2,y2)=(-2, -2/3) ein, erhält man die beiden gesuchten Tangentengleichungen
y = 4 * x - 27/2 und
y = 4 * x + 22/3 .
Den Abstand dieser beiden parallelen geraden erhält man indem man eine senkrechte Gerade z.B. y = -1/4 * x mit beiden Geraden schneidet. Die Differenzen der x-Werte und y-Werte werden quadriert und dann addiert und schließlich die Wurzel gezogen. Man erhält ca. 4,48 .
Du musst die erste ableitung der funktion bilden, die erste ableitung f'(x) ist gleichbedeutend mit der steigung im punkt x, der punkt x ist gesucht, also setzt du f'(x)=4, und rechnest aus, für welche x-werte die erste ableitung 4 ist, dann hast den punkt in dem der graph die steigung 4 hat. dann kannst du diesen x-wert in die ursprüngliche funktion (nicht ableitung) einsetzen und erhältst den y-wert. die tangente an diesem punkt hat (wie eben berechnet) die steigung 4. Die tangentengleichung ist allgemein: y=m*x+n, m ist die steigung, die hast du gegeben, d.h. du brauchst noch n (verschiebung auf der y-achse). Ein punkt der tangente (gerade) den du sicher weist ist der punkt über den du gerade die steigung bestimmt hast, da die tangente den graph ja genau in diesem punkt berührt. d.h. du kannst den x und y wert dieses punktes in die allgemeine gleichung einsetzen, dazu noch die steigung, dann bleibt nurnoch n als unbekannt übrig, und du kannst es einfach ausrechnen, dann nochmal die allgemeine form der tangente hinschreiben, und x und y als variablen freilassen. Verstanden? ^^
Okeeey... Erstmal verstehe ich nur Bahnhof^^ und dann ist noch gefragt wie ich den Abstand zwischen den beiden Tangenten ausrechne.. wie soll ich das machen?! :S
Sehr schön erklärt, DH.
Einzig diese entsetzliche Kleinschreiberei verursacht bei mir Augenkrebs ...
achsoooo okey vielen vielen dank jetzt hab ichs geschnallt :)