Kann mir jemand bei einer Herleitung einer Formel helfen?
Ich wollte fragen wieso man das "delta"x mit dem man in der ersten Gleichung multipliziert einfach in der zweiten als "dx" umschreibt. Ich dachte nämlich das "dx" bedeute nur, dass nach x integriert wird.
3 Antworten
Hallo,
Du hast hier den Grenzübertritt von der Länge einer Sekante, die die Kurve an zwei Punkten schneidet und sich der Bogenlänge nur annähert und der Bogenlänge, die die Summe unendlich vieler unendlich kleiner Sekanten des Bogens ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Das mal Delta x ist dadurch entstanden, daß das Delta²(x) unter der Wurzel hervorgeholt wurde, denn nach dem Satz des Pythagoras gilt:
Die Länge der Sehne zwischen zwei Punkten einer Kurve ist gleich der Wurzel aus der Summe der Quadrate des Unterschiedes der x-Komponenten zweier Punkte und des Unterschiedes der beiden y-Komponenten.
Du hast also unter der Wurzel den Term (Delta(x))²+(f(x))² stehen.
Klammerst Du (Delta x)² aus:
Wurzel ((Delta(x))²*(1+(f(x))²/(Delta (x))², kannst Du es aus der Wurzel in Form des Faktors Delta x herausholen:
Wurzel (1+(f(x)/(Delta (x))²)*Delta (x)
Je kleiner Delta x wird, desto enger paßt sich die Sehne dem entsprechenden Abschnitt der Bogenlänge an. Da Du natürlich nicht nur ein unendlich kleines Stück des Bogens berechnen willst, bildest Du die Summe unendlich vieler unendlich kleiner Sehnen, wobei Delta (x) gegen Null geht und dann mit dx bezeichnet wird.
Die unendliche Summe aber ist das Integral.
Hier wird der Satz des Pythagoras angewendet!
Die Kurve wird zwischen a und b in viele kleine Teile zerlegt → dann ist jeder einzelne Teil annähernd eine kleine Gerade, an die du jeweils das Steigungsdreick, welches ja rechtwinkelig ist, zeichnen kannst. Die waagrechte Kathete ist 1, die senkrechte Kathete ist die Steigung dieser kleinen Gerade → der annähernd gerade Teil der Kurve ist dann die Hypotenuse.
Delta x ist nur eine andere Schreibweise, soweit ich weiß. Wird in dem Basistutorial zu Integralen von thesimplemaths erklärt
Delta x ist nicht eine andere Schreibweise, sondern etwas anderes.
Delta x ist der Unterschied (zählbar oder meßbar oder in Zahlen bezifferbar) zwischen zwei x-Koordinaten zweier Punkte auf einer Kurve.
Erst wenn Delta x infinitesimal klein geworden ist und praktisch bei Null liegt, wird Delta x dx genannt.
Im Gegnsatz zu einer Länge Null aber kann dx zu einer durchaus meßbaren Größe aufsummiert werden, wobei es unendlich viele Summanden braucht.
in der ersten Formel rechne ich ja "mal" deltax und in der zweiten wird das dx ja nicht in die Formel/Rechnung miteinbezogen deswegen frage ich mich ob diese Art der Umschreibung richtig ist.
ich glaube du hast meine Frage nicht wirklich gelesen...