Formel um kubische Gleichungen zu lösen?
Hallo, gibt es eine Formel für kubische Gleichungen?
Ich habe nämlich eine Gleichung, bei der man keine Nullstelle erraten kann, finde aber nur die standardverfahren im Internet, die man benutzt, wenn man eine Lösung erraten kann.
Ich würde nämlich gerne die genaue Lösung für die Gleichung x^3+x^2-1=0 wissen, ohne irgendwelche Rundungen.
Vielen Dank im Voraus.
6 Antworten
Tschuldigung, es gibt doch die genaue Form, aber das ist wirklich sehr lang, dafür aber genau. Meine untere Lösung, sollte aber reichen. LG
Tut mir Leid, ich habe die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben und eigentlich wäre die Lösung total einfach gewesen 🤦🏻♀️ Aber trotzdem vielen Dank für's vorrechnen, war trotzdem interessant zu hören 😊😊😊
Ja, es gibt Lösungsformeln für polynomielle Gleichungen dritten und vierten Grades. Diese sind allerdings so kompliziert, dass sie in der Schule eher selten gelehrt werden. Du findest eine erste Übersicht z.B. hier.
Wenn du dich aber nur für die Lösungen interessierst, wärst du besser bedient, sie dir einfach ausrechnen zu lassen, etwa durch wolframalpha (notfalls auf "Exact form" klicken).
Ich bin der Verfasser, der hier im Beitrag die Formel von Cardano vorgerechnet hat. Stimmt die Rechnung? LG
Das kriegt selbst Wolframalpha nicht genau hin. Hier, wie man es ohne Wolframalpha macht!
Du benutzt die Formel von Cardano. Berechnest erstmal Hilfsgrößen p und q
a=1, b=0, c=-1 sind die Zahlen, vor den x
p= (3b-a^2)/3 hier kommt raus -1/3
q=2a^3/27 - ab/3 +c ( Leertaste bedeutet, dass es nicht mehr unter dem Bruch weitergeht) Hier kommt -25/27 raus.
Nun berechnest du die Determinante, um zu schauen, wie viele Lösungen es gibt. D= (p/3)^3+(q/2)^2 Bei uns kommt 23/10 raus, also nur eine Reele Lösung.
Also x1= u+v-a/3
u= 3Wurzel( -q/2 + wurzel(D))= 0.97415164125679
v= 3Wurzel( -q/2 - wurzel(D))= 0.11405935832315
Also x1= 0.97415164125679+ 0.11405935832315 -1/3= 0.754877666247
Das ist ein sehr genaues Ergebnis. Mein Taschenrechner ist sehr hochwertig, aber mehr Nachkommastellen kann er auch nicht. Klar, Wolframalpha gibt viel mehr Nachkommastellen, aber genauer kriegst du es auch nicht und wenigstens hat man selbst was geleistet. LG :)
Das sehe ich jetzt leider mit deutlicher Verspätung, trotzdem gebe ich noch schnell eine Antwort. Sie ist leider kompliziert, denn eine allgemeine Lösungsformel gibt es nur, wenn Du gewillt bist, mit komplexen Zwischenresultaten zu rechnen; Du erhältst dann auch alle Lösugen, sowohl die reellen als auch die komplexen.
Oft will man aber nur die reellen Lösungen haben, und dann muß man (wenn man nicht komplex rechnen will) leider zwei verschiedene Formeln verwenden (je nachdem, ob es eine oder drei reelle Lösungen gibt), und noch eine dritte für Mehrfachlösungen, wenn also mindestens zwei der drei reellen Lösungen gleich sind.
Der Ausgangspunkt ist eine kubische Gleichung der Form x³+ax²+bx+c=0. Dann gehst Du so vor wie unten beschrieben: Zuerst berechnest Du zwei Parameter κ und λ, und aus denen lassen sich dann die Lösungen berechnen.
Ja, wenn Du komplex rechnen kannst, dann ist das ziemlich einfach — aber in der Realität tun sich viele Programme mit komplexen Zahlen schwer, und die komplexen Lösungen braucht man ja nur in Ausnahmefällen.
https://www.johannes-strommer.com/mathematik/cardanische-formel/
Eine "genaue Lösung", wie sollte die aussehen?
Es gibt eine allgemeine Formel, die dir eine Nullstelle gibt, mehr aber auch nicht. Habe es ihm/ihr aber oben schon vorgerechnet.
Oh vielen Dank, das mit den komplexen Zahlen gefällt mir😍 Dann gibt es ja doch eine einzige Formel und welche Nullstellen reel sind sieht man dann ja nach dem rechnen 🤩