Kann man 7 hoch 1/2 berechnen?
7 hoch 1/2 ist ja die Wurzel von 7.
Bzw. wie kann man das berechnen?
6 Antworten
Man würde Wurzel 7 berechnen, indem man sie von oben und unten eingrenzt.
Klar ist, dass die Wurzel von 7 sieben zwei und drei liegt, denn 2²<7<3².
Wie ist mit 2,5?
2,5²=25²/10²= 625/100=6,25.
Also ist 2,5²<7<3².
Man könnte es dann mit 2,75²=275²/10000=7,5625 probieren.
Eine neue Obergrenze, also
2,5²<7<2,75².
Nährunsweise geht das einfach (siehe Newtonverfahren):
y = sqrt(7) | ()²
y² = 7 | -7
y² - 7 = 0 = f(y)
f'(y) = [y² - 7]'
f'(y) = [y²]' + [-7]'
f'(y) = 2y + 0
f'(y) = 2y
y_{n + 1} = y_{n} - (f(y_{n}) / f'(y_{n}))
y_{n + 1} = y_{n} - ((y_{n}² - 7) / 2y_{n})
y_{n + 1} = y_{n} - ((y_{n}²) / y - (7) / y_{n}) / 2
y_{n + 1} = y_{n} - (y_{n} - (7) / y_{n}) / 2
mit den getatenden Wert y_{1} := 2 erhält man:
y_{2} = y_{1} - (y_{1} - (7) / y_{1}) / 2 = 2 - (2 - (7) / 2) / 2 = 2,75
y_{3} = y_{2} - (y_{2} - (7) / y_{2}) / 2 = 2,75 - (2,75 - (7) / 2,75) / 2 = 2,6477272727272727...
y_{4} = y_{3} - (y_{3} - (7) / y_{3}) / 2 = 2,6477272727272727... - (2,6477272727272727... - (7) / 2,6477272727272727...) / 2 = 2,6457520483808037...
y_{5} = y_{4} - (y_{4} - (7) / y_{4}) / 2 = 2,6457520483808037... - (2,6457520483808037... - (7) / 2,6457520483808037...) / 2 = 2,6457513110646933...
Machen wir so weiter kommen wir auf:
y_{unendlich} = sqrt(7) = 2,6457513110645906...
Streng genommen konvergiert es gegen zwei Werte:
y_{unendlich} = ±sqrt(7) = ±2,6457513110645906...
Lösungen:
L = {-2,6457513110645906...; 2,6457513110645906...}
Ja kann man. Die Wurzel aus 7 ist etwa 2,6.
Jein. Dann kommt eine sehr unschöne Zahl raus, die man nur ungefähr angeben kann. Beim Rechnen würde man "Wurzel 7" einfach so stehen lassen.
Näherungsweise
Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Die Intervallschachtelung ist die Methode, die am einfachsten zu verstehen ist. Dabei sucht man sich zwei Zahlen aus: Eine ist quadriert kleiner als 7 und die andere quadriert größer als 7. Hier nehmen wir mal 2 und 3. 2^2 = 4, 3^2 = 9. Also muss die Wurzel zwischen 2 und 3 liegen.
Jetzt finden wir eine weitere Nachkommastelle. 2.6^2 = 6.76, 2.7^2 = 7.29.
Und die nächste. 2.64 = 6.9696, 2.65 = 7.0225 usw.
Dadurch kann man immer genauer werden, aber in der Praxis ist dieses Verfahren sehr aufwändig. Es gibt deutlich schnellere numerische Approximationen. Wenn es dich interessiert, kannst du ja Mathematik oder Informatik studieren :)
https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel#Berechnung_von_Quadratwurzeln_aus_reellen_Zahlen
Wie?