Kann eine Gerade im Raum kolinear sein und sich schneiden bzw woran erkennt man das sich die geraden nicht schneiden?
Hallo ihr Lieben, ich weiß zwar, wie man berechnet ob zwei Geraden kolinear sind und auch, wie man den schnittpunkt errechnet, jedoch weiß ich nicht woran man erkennt, dass sie sich nicht schneiden.
Bsp Aufgabe: Zeigen sie, dass dieses zwei Flugzeuge nicht kolledieren können (Geradengleichung hab ich bereits)
Würde mich sehr über eine antwort freuen, danke ! :)
4 Antworten
Hi,
es gibt gar nicht so viele Möglichkeiten, wie 2 Geraden zueinander liegen können und für alle gibt es leichte Algorithmen, um sie zu prüfen.
Möglichkeiten:
- Die Geraden sind identisch (Richtungsvektoren kollinear)
- Die Geraden sind (echt) parallel (Richtungsvektoren kollinear)
- Die Geraden haben (genau) einen Schnittpunkt (Richtungsvektoren nicht kollinear)
- Die Geraden sind windschief (Richtungsvektoren nicht kollinear)
Als erstes prüfst du also, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Damit kannst du nach obigem Schema nämlich schon einmal die Hälfte der Fälle ausschließen.
Nehmen wir zunächst an, die Richtungsvektoren sind kollinear. Wir wollen wissen, ob die Geraden identisch sind oder (echt) parallel. Dazu prüfen wir einfach, ob der Ortsvektor der ersten Gerade ein Punkt der zweiten Gerade ist. Falls ja, sind die Geraden identisch, ansonsten (echt) parallel.
Nehmen wir nun an, die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Wir wollen herausfinden, ob die Geraden sich schneiden oder windschief sind. Dazu tun wir so, als gäbe es einen Schnittpunkt und versuchen, diesen auszurechnen. Wenn es uns gelingt, haben die Geraden einen Schnittpunkt. Wenn sich stattdessen ein Widerspruch ergibt, sind sie windschief.
Du brauchst also in deiner Beispielaufgabe nur zu zeigen, dass die beiden Geraden (echt) parallel oder windschief zueinander sind.
Danke für deine Antwort! :) Hat mir wirklich geholfen
1. Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben.
2. Wenn sich zwei Geraden nicht schneiden, müssen sie nicht parallel sein - sie können auch "windschief" sein, z.B. zwei Kanten eines Würfels.
Die Kollinearität der Richtungsvektoren bedeutet, dass Die Geraden umgangssprachlich die gleiche "Steigung" haben.
Gehen wir davon aus, dass die Geraden Kolliear sind, bedeutet das, dass die Geraden entweder Parallel verlaufen, oder identisch sind.
Gehen wir davon aus, dass die Geraden nicht Kollinear sind, bedeutet das, dass die Geraden entweder windschief sind oder einen Schnittpunkt haben.
So oder so musst du durchrechnen, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben, denn wenn die Geraden keinen haben, sind die sie entweder parallel oder windschief.
Als zweite Möglichkeit, könnte es einen Schnittpunkt geben und als dritte könnte es undendlich viel Schnittpunkte geben.Die würde heißen, dass die Geraden identisch sind.
Um einen Schnittpunkt auszurechnen musst du die Parameterdarstellungen der Geraden gleichsetzten. Also g1 und g2.
Die Werte kannst du dann nach der Umformung in die Matrix eingeben oder in einem linearen Gleichungssystem eingeben.
Ende. :) hoffe das hat dir geholfe. Hab Heute eine Klausur darüber geschrieben :D
Dankee! Ich schreib am Freitag die Klausur. Hoffe sie ist bei dir gut verlaufen :)
ah geraden die sich schneiden können nicht kolinear sein, weil das heißt, dass sie Parallel sind oder? Somit ergibt sich meine ganze Frage, hab ich da Recht?