Schnittpunkt zweier Geraden beweisen?
Guten Abend,
als Übung für eine anstehende Matheklausur mache ich gerade Aufgaben aber komme bei dieser nicht weiter:
„Zeigen Sie, dass die Geraden g: x= (-1/4/8)+r*(-2/3/8) und h: x=(1/1/0)+s*(-8/2/3) sich im Punkt S(1/1/0) schneiden, und berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels.
Für Tipps wäre ich sehr dankbar :)
5 Antworten
Stelle Dir die Geraden vor, wenn sie sich schneiden, gibt es genau einen Punkt, den sie gemeinsam haben. Setze sie gleich.
Um den Schnittpunkt zu bestimmen, musst Du Geraden gleichsetzen. Dabei beachten: Einen Parameter umbenennen, also
(1) -1 -2r = 1 - 8s
(2) 4 + 3r = 1 + 2s
(3) 8 + 8r = 3s
Du erhältst die Werte für r und für s, mit denen Du mit jeder Gerade den Schnittpunkt bestimmen kannst (zweite Gerade als Kontrolle). Zum Vergleich: S (1│1│0)
Für den Winkel φ benötigst Du die beiden Richtungsvektoren u = (-2│3│8) und v = (-8│2│3). Diesen berechnest Du mittels φ = arccos(│u * v│) / (│u│ * │v│). Zum Vergleich: φ = 53,3159°
Hallo,
dass S auf h liegt ist offensichtlich, da der Ortsvektor von S der Stützvektor von h ist.
Wenn du den Ortsvektor von S in die Gleichung für g einsetzt, erhältst du r=-1 mit allen drei Koordinatengleichungen. Also liegt S auch auf g.
Den Schnittwinkel erhältst du mit dem Skalarprodukt der Richtungsvektoren.
Zur Kontrolle:
cos(alpha)=46/77
alpha≈53,32°
🤓
Zum beweisen das sie sich schneiden, reicht es schon einfach zu zeigen das die Gerade g durch den Punkt S geht und zu zeigen das die Gerade h durch den Punkt h geht. Für den Winkel habt ihr bestimmt eine Formel gelernt.
Geraden gleichsetzen und dann mithilfe von r überprüfen, obs auch im richtigen Punkt ist