Ist eine affine Abbildung mit Translationsanteil = 0 dennoch affin?
Eine affine Abbildung mit t=0 ist ja linear. Sind alle linearen Abbildungen dennoch affine Abbildungen, also eine Teilmenge der affinen Abbildungen oder wird da klar unterschieden?
1 Antwort
Ja, jede lineare Abbildung ist auch eine affine Abbildung, umgekehrt gilt dies natürlich nicht.
Ein bisschen aufpassen / nachdenken muss man dennoch. Lineare Abbildungen sind definiert als Abbildungen zwischen Vektorräumen (nennt man auch lineare Räume passenderweise), für die bestimmte Eigenschaften gelten, nämlich insbesondere f(x + y) = f(x) + f(y) (für x und y Vektor) und f(ax) = a * f(x) (für a Skalar und x Vektor).
Affine Abbildungen sind definiert als Abbildungen zwischen affinen Räumen, bei der bestimmte geometrische Eigenschaften erhalten bleiben (etwas ungenau: Punkte auf einer Geraden werden so abgebildet, dass sie wieder auf einer Gerade liegen, parallele Geraden bleiben parallel, Teilverhältnisse bleiben erhalten).
Zunächst einmal habe die beiden Begriffe also gar nix miteinander zu tun. Schaut man sich aber genauer an, was ein affiner Raum ist, dann verschwimmen die Unterschiede und man kann die beiden Begriffe wieder zusammen bringen und es lässt sich zeigen, dass eine affine Abbildung dasselbe ist wie eine lineare Abbildung + eine Translation, also eine Verschiebung. Und auch eine Verschiebung um 0 ist so gesehen eine Verschiebung, und daher ist jede lineare Abbildung eine affine Abbildung.
Super, vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Die Bedingungen mit den erhaltenen Eigenschaften war mir so in etwa bewusst, sind jetzt jedoch nochmal klarer geworden :)