Ist ein Kreis unendlich?
Wenn man einen Kreis zeichnet gibt es einen Anfang und ein Ende, auch wenn man es noch so genau zeichnet hat man irgendwo angefangen und hört auch irgendwo wieder auf. Sollte ein Kreis nicht aber genau das nicht haben?
16 Antworten
Es sei r der Radius.
Kreisumfang: U = 2πr
Kreisinhalt: A = r²π
Wo soll da was unendlich sein? Auch der Kreisumfang ist nicht unendlich, sondern hat die Länge 2πr.
Der Kreis kann nur als Symbol für "unendlich" genommen werden, weil man immer auf der Kreislinie (Kreisumfang) entlanglaufen kann, ohne auf einen Anfang oder ein Ende zu stoßen, und zwar auch ohne über "besondere" Punkte wie Ecken oder Knicke zu laufen.
Allerdings, nachdem man einen Weg von 2πr auf der Kreislinie ist man wieder an dem Punkt, an dem man gestartet hat. Läuft man weiter, dann durchläuft man dieselben Punkte halt nochmal.
Man kann unendlich weiterlaufen. Aber darum ist nicht der Kreis selbst unendlich. Was man daran sieht, dass man schließlich immer und immer wieder dieselben Punkte durchläuft, wenn man immer weiter läuft.
Eine Gerade wäre in der Tat unendlich. Und da durchläuft man auch nie wieder dieselben Punkte.
Dass eine Gerade unendlich ist, ein Kreis aber nicht, das sieht man auch daran, dass man einen Kreis vollständig auf ein Blatt Papier zeichnen kann. Mit einer Geraden geht das nicht.
PS: Ja, ich weiß, dass es auch unendliche Linien gibt, die in einen endlichen Bereich ("auf ein Blatt Papier") passen würden. Aber da würde man erstens mit der Konstruktion nie fertig (weil unendlich) und zweitens bräuchte man eine ideale, "infinitesimale" Bleistiftspitze (weil etwas unendliches in einen endlichen Bereich passen soll).
@schuhmode: Zunächst einen dicken DH für Deinen sehr informativen Beitrag !
Eine Frage habe ich allerdings noch dazu. Du schreibst:
"Eine Gerade wäre in der Tat unendlich."
Wenn wir eine "Gerade" betrachten ist sie für uns gerade - jedoch kann diese vielleicht aus einer höheren Dimension aus betrachtet, gekrümmt sein, ohne dass wir davon Kenntnis erlangen können. Wäre sie gekrümmt, dann würde sie sich wahrscheinlich irgendwann wieder an einem Punkt treffen. Mit großer Wahrscheinlichkeit wäre sie wohl aus einer höheren Dimension kreisförmig. Oder ? :)
Vor allem wäre ein Kreis eine Gerade...
jedoch kann diese vielleicht aus einer höheren Dimension aus betrachtet, gekrümmt sein, ohne dass wir davon Kenntnis erlangen können.
Nicht Mathe mit Physik verwechseln!
Eine Gerade ist per Definition gerade, egal, ob man sie in zwei, drei, 3487558436 Dimensionen betrachten.
Gekrümmte Räumen gibt es in der Mathematik auch, aber die enthalten, außer in Sonderfällen, keine Geraden. Es gibt dann etwas, was in gewisser Hinsicht den Geraden "ähnlich", die geodätischen Linien.
ZB auf einer Kugelfläche sind die Großkreise die geodätischen Linien. Geraden gibts es auf einer Kugeloberfläche nicht.
Mit den Sondefällen meine ich zB sowas wie einen zylindrischen Raum. Die meisten geodätischen Linien sind keine Gerade. Jedoch, wenn sie parallel zur Zylinderachse sind, dann sind es in der Tat geraden.
Wäre sie gekrümmt, dann würde sie sich wahrscheinlich irgendwann wieder an einem Punkt treffen.
Was du meinst ist sowas, wie dass das universum in sich zurückgekrümmt ware, etwa im Sinne einer Hyperkugel. Auf vergleichsweise "kleinen" Bereichen würde man eine Krümmung, etwa eines Lichtstrahls, dann nicht bemerken, und für ihn gerade halten. In sehr großen Maßstäben wäre er aber gekrümmt. Und wenn wir uns das Universum mal statisch denken (ohne die Expansion), dann würde er nach sehr langer Zeit aus der anderen Richtung zurückkehren.
Mit der Expansion würde er das wohl nicht, weil immer mehr zusätzlicher Raum entsteht, schneller als der Lichtstrahl ihn durchqueren kann. Für Details fragst aber besser unsere Physik- oder Astronomie-Experten.
Mit großer Wahrscheinlichkeit wäre sie wohl aus einer höheren Dimension kreisförmig.
Das wäre er auch ohne höhere Dimension, seine Rückkehr würde das ja zeigen. Innerhalb eines gekrümmten Raumes ist dessen Krümmung natürlich schwerer festzustellen (und erst recht vorzustellen) als von außen. Aber einen Standpunkt außerhalb des Universums haben wir nicht. Den hat vlt Gott, falls man ans sowas glaubt.
Verstehe dein Problem nicht wirklich :)
Ein Kreis lässt sich parametrisieren, und kann sogar ohne Überschneidung mit einem Anfangs- sowie Endpunkt gezeichnet werden. Zum Beispiel mit folgender Abbildung:
A: [0,2pi) ---> R
x ----> (sin(x), cos(x)).
ps: aufgrund der offenen Klammer existiert der Endpunkt zwar nicht, das hindert uns aber nicht, einen stetigen "lückenlosen" Kreis zu zeichnen, ohne dabei den Anfangspunkt nochmal zu überqueren.
Das wird jetzt etwas theoretisch, aber anders ist die Frage nicht zu beantworten.
Unendlich ist die Negation von Endlich, um zu wissen ob etwas Unendlich ist, müssen wir uns also die Definition von endlich anschauen.
Wenn du dir Definitionen für Endlichkeit anschaust: Im geometrischen Sinne ist Endlichkeit aber das begrenzen von Abmessungen oder Längen.
Die Kante eines Kreises hat also eine endliche Länge, auch wenn sie kein Ende hat. Beide Begriffe haben nur durch die Sprache etwas miteinander zu tun, sind aber etwas anderes.
Also ist mit dem "der Kreis ist unendlich" eigentlich nur das Augenscheinliche gemeint, wenn man im Grunde **nicht ** so genau hinschaut?!
Okay, wenn ich die Frage noch mal durchlese...
Es geht dir wohl nur darum ob ein Kreis kein Anfang und Ende haben sollte. Nach mehreren Jahren Mathematik im Studium schaut man da nicht mehr ungenau hin ;)
Ja, ein Kreis sollte weder Anfang noch Ende haben. Außerdem sollten alle Punkte von dem Mittelpunkt gleich weit entfernt sein. Aber wie willst du das verhindern?
Theoretisch könntest du dein Blatt auf eine Töpferscheibe spannen und den Stift ganz langsam senken. Dadurch ist weder Anfang noch Ende zu sehen.
Du hast nur eine Annährung an einen Kreis gezeichnet. Einen echten Kreis bekommst du nicht hin. Und der hätte auch keinen Start- und Endpunkt :)
Ein Kreis hat weder Anfang noch Ende.
Aber was Du da zeichnest, ist ja auch KEIN Kreis.
Das ist die - ungenaue - DARSTELLUNG eines Kreises.
Und DIE hat natürlich Anfang und Ende.
Interessanter Beitrag, vielen Dank!