Lass dich nicht von U.Nagel verwirren: in der Mathematik heißt "ratio" soviel wie "Verhältnis" oder "Quotient".
- eine rationale Zahl ist eine Verhältniszahl, sie ist gleich einem Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Als Kommalzahl entweder abbrechend oder mit unendlich vielen, periodischen Stellen
- eine irrationale Zahl ist eine nicht-Verhältniszahl, sie ist nicht gleich einem Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Als Kommalzahl immer unendlich und nicht-periodisch
Erstmal: lass dich von der Privatterminonlogie der Herrn Nagel nicht verwirren.
Natürlich darf man "rational" nicht weglassen. Du kannst unter dem Stichwort "Ganzrationale Funktion" bei wikipedia nachlesen. Was dort steht bedeutet soviel wie:
Eine ganzrationale Funktion ist eine, die man so schreiben kann:
f(x) = "Polynom"
Der Funktionterm ist ein Polynom. Du könntest statt "ganzrationale Funktion" auch "Polynomfunktion" sagen.
f(x) = 2x : eine lineare Funktion ist auch eine ganzrationale Funktion.
f(x) = 3x² -7x -4 : die quadratischen Funktionen sind auch ganzrationale Funktionen.
Im Prinzip ganz einfach. f(x)=x^7+5x^4+2x^3+3x: Da steht einfach nur ein Polynom, es ist eine ganzrationale Funktion.
Gegenbeispiele:
Bei den Gegenbeispielen steht nur im ersten ein x im Nenner. Bei den anderen nicht, das sind ja auch gar keine Bruchterme! (Man sieht, dass die "Definition" des Users UN falsch ist und das "rational" nicht weggelassen werden darf!).
Aber was bedeutet "ganzrational" vom Wortsinn her? "ganz" ist klar: es soll kein Bruchterm sein (kein x im Nenner), aber was bedeutet das "rational"? Es bedeutet ungefähr soviel, dass der Funktionsterm keine Rechenoperationen enthält, die "von Hause aus" irrationale Zahlen liefern. Darum keine Wurzel, denn zB schon Wurzel(2) wäre irrational, eben so die meisten Sinuswerte, die meisten Werte von e^x etc.
Irrationale Koeffizienten sind bei einer ganzrationalen Funktion aber erlaubt!, ZB f(x)=x²+πx wäre eine ganzrationale Funktion, obwohl π selbst irrational ist!
Wenn die Ableitung einer Funktion f'(x)=0 ist,
Du meinst damit, dass die Ableitung konstant gleich 0 ist, richtig? f selbst war dann eine auch eine konstante Funktion, eine Parallele zur x-Achse (auch, dass f selbst bereits konstant gleich 0 war, also mit der x-Achse identisch ist, ist natürlich möglich).
Jedenfalls, der Funktionsgraph von f ist eine waagerechte Gerade.
ist die Funktion dann monoton wachsend und fallend oder nichts von beiden?
Beides!
Man unterscheidet zwischen monoton wachsend/fallend einerseits und streng monoton wachsend/fallend andererseits.
Beachte, dass rechts "kleinergleich" bzw "größergleich" steht.
Dagegen:
Hier steht rechts jeweils "kleiner" bzw "größer".
Das macht: Deine Funktion ist monoton wachsend und monoton fallend, aber weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend.
Es sei r der Radius.
Kreisumfang: U = 2πr
Kreisinhalt: A = r²π
Wo soll da was unendlich sein? Auch der Kreisumfang ist nicht unendlich, sondern hat die Länge 2πr.
Der Kreis kann nur als Symbol für "unendlich" genommen werden, weil man immer auf der Kreislinie (Kreisumfang) entlanglaufen kann, ohne auf einen Anfang oder ein Ende zu stoßen, und zwar auch ohne über "besondere" Punkte wie Ecken oder Knicke zu laufen.
Allerdings, nachdem man einen Weg von 2πr auf der Kreislinie ist man wieder an dem Punkt, an dem man gestartet hat. Läuft man weiter, dann durchläuft man dieselben Punkte halt nochmal.
Man kann unendlich weiterlaufen. Aber darum ist nicht der Kreis selbst unendlich. Was man daran sieht, dass man schließlich immer und immer wieder dieselben Punkte durchläuft, wenn man immer weiter läuft.
Eine Gerade wäre in der Tat unendlich. Und da durchläuft man auch nie wieder dieselben Punkte.
Dass eine Gerade unendlich ist, ein Kreis aber nicht, das sieht man auch daran, dass man einen Kreis vollständig auf ein Blatt Papier zeichnen kann. Mit einer Geraden geht das nicht.
Dimensionen "gibt" es eigentlich gar nicht. Die "Dimension" eines Raumes (bzw "Anzahl der Diemsnionen", wie man auch sagt) ist eine Maßzahl, die angibt, wieviele Freiheitsgrade dieser Raum hat.
Zum Vergleich: Ich kann in einen Laden gehen und feststellen: Es gibt Säcke mit 1 Kilo Kartoffeln, welche mit 2 und welche mit 3 Kilo Kartoffeln. Es wäre aber ziemlich sinnlos zu fragen "Gibt es Kilos?" bzw "Wieviele Kilos gibt es wirklich?" - Kilos messen immer was, Kartoffeln, Zwiebeln, dein Körpergewicht oder sonstwas. Aber "Kilos" allein, ohne irgendwas, was sie messen, ist ein sinnloser Ausdruck.
Ebensowenig "gibt" es Dimensionen. Was es gibt, sind n-dimensionale Räume (in der Mathematik), bzw das 4-dimensionale Raum-Zeit-Kontinuum (in der Physik). Möglicherwiese gibt es real (in der Physik) noch Räume mit mehr Dimensionen - aber darüber gibt es nur Hypothesen und Spekulationen.
Natürliche Zahlen (ohne Null): 1; 2; 3; 4 ... (hierzu zählen nur ganze Zahlen über 0)
Ok.
Ganze Zahlen: ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ... (hierzu zählen auch die negativen Zahlen mit 0)
Ok.
Rationale Zahlen: Dezimalzahlen und Brüche, die "abbrechbar" sind,
Das ist nicht die Definition:
Hier hab ich mal gelesen, dass bei einem Bruch der Nenner eine ganze Zahl sein muss und der Nenner eine natürliche Zahl
Das passt schon eher.
Richtig muss es heißen: Ein rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner geschrieben werden kann.
irrationale Zahl: eine Zahl, die nicht "abbrechbar" oder periodisch ist,
Das ist nicht die Defintion. "Irrational" ist doch einfach die Verneinung von rational. Irrationale Zahlen sind (reelle) Zahlen, die nicht rational sind, also nicht als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner.
Es ist ein Fehler den viele Schüler (wahrscheinlich die meisten) machen, sich diese Nachkommastellen-Story als "Definition" zu merken. Mit den Nachkommastellen, das stimmt zwar auch, ist aber nicht die Definition. Es ist wichtig, sich das richtig herum zu merken, sonst entstehen Verständnisprobleme!
Rest ist wieder ok.
Richtig - einfachster Beweis, den ich kenne:
Es sei n eine natürlich Zahl, die aber keine Quadratzahl ist. Es ist dann klar, dass Wurzel(n) keine ganze Zahl sein kann.
Könnte die Wurzel von n vielleicht rational sein? Dann müsste es zwei natürliche Zahlen a und b geben, so dass:
(a/b)² = n
(denn rationale Zahlen sind ja die, die man als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner schreiben kann).
Ein Bruch, der noch nicht gekürzt wäre, kann immer soweit gekürzt werden, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Dann geht es nicht mehr weiter zu kürzen. Wir können also annehmen, dass der Bruch a/b schon vollständig gekürzt ist (dh a und b sind teilerfremd). b muss größer als 1 sein, denn sonst wäre a/b ja eine ganze Zahl, und diese Möglichkeit scheidet ja schon aus.
Quadrieren ergibt nun einfach:
(a/b)² = a² / b²
Könnte sich a²/b² zu einer ganzen Zahl kürzen? Wenn a/b die Wurzel aus n sein soll, müsste ja a²/b²=n sein.
Aber durch Quadrieren entstehen keine neuen Primteiler. Das Quadrat einer Zahl hat immer dieselben Primteiler wie die ursprüngliche Zahl selbst (überleg dir da mal selbser, Stichwort: Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegenung).
Also, wenn a und b teilerfremd waren, dann sind a² und b² immernoch teilerfremd. Also lässt sich der Bruch a²/b² nicht kürzen. Und der Nenner b² kann auch nicht 1 sein, denn b selbst war ja schon größer als 1, wie oben erwähnt.
Also ist a²/b² keine ganze Zahl und kann also schon garnicht gleich n sein.
Die Wurzel aus n (wenn n keine Quadratzahl ist) kann also niemals als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner geschrieben werde. Sie kann also nicht rational sein. Also ist Wuzel(n) irrational.
Du hast recht. Hier steht es: http://de.wikipedia.org/wiki/Universum#Konsequenzeneinesunendlichen_Raumzeitvolumens
"Herrlich rätselhaft ist beim Teekesselchen-Spiel nicht nur das Spiel. Auch sein Name selbst gibt Rätsel auf. Vermutungen zufolge stammt die Spielidee aus England, wo man die Lösungen auf kleine Zettel schrieb und diese in Teekesseln verbarg. Vielleicht, weil die gerade für den Five-O-Clock-Tee in greifbarer Nähe standen? Ein anderer Erklärungsansatz meint, dass die Menschen, die die Umschreibungen der Worte formulieren miteinander scheinbar so viel gemeinsam haben, wie ein Teekessel mit einem anderen: Äußerlich nichts, aber dem Inhalt nach durchaus.
Möglichkeit drei, die vermutet wird: „Teekessel“ hieß früher nicht nur der Wasserkessel, sondern auch ein Dummkopf. „Hey, Du Teekessel!“ - mancherorts schimpft man so bis heute einen begriffsstutzigen Menschen. Einen Menschen eben, der erst zwei und drei Umschreibungen braucht, bevor er die Wortbedeutung erkennt…" (http://www.wissen.de/wde/generator/wissen/ressorts/bildung/index,page=3666592.html)
Hat mich per Googel kein 40 Sekunden gekostet
