Ist die e-Funktion die einzige Funktion dieser Art?
Hey Leute!
Ich hab mal eine Frage:
Ist die e-Funktion die einzige Funktion mit der Eigenschaft f(x) = f´(x) ?
Wenn ja: Wie hat man das bewiesen?
6 Antworten
Man kann das beweisen, nämlich mittels Potenzreihen.
f(x) = a + b * x + c * x ^ 2 + d * x ^ 3 + ... + ... + ...
f´(x) = b + 2 * c * x + 3 * d * x ^ 2 + ... + ... + ...
Wenn f´(x) = f(x) sein muss, dann muss also zwingend gelten -->
b = a
2 * c = b --> c = b / 2 --> c = a / 2 weil ja b = a ist.
3 * d = c --> d = c / 3 --> d = a / 6
....
....
Allgemeine Form also -->
f´(x) = a + 2 * (a / 2!) * x + 3 * (a / 3!) * x ^ 2 + 4 * (a / 4!) * x ^ 3 + 5 * (a / 5!) * x ^ 4 + ... + ... + ...
Das kann man integrieren -->
f(x) = k + a * x + (a / 2!) * x ^ 2 + (a / 3!) * x ^ 3 + (a / 4!) * x ^ 4 + (a / 5!) * x ^ 5 + ... + ... + ...
k ist die Integrationskonstante, wir wissen außerdem, dass k = a sein muss.
Also -->
f(x) = a + a * x + (a / 2!) * x ^ 2 + (a / 3!) * x ^ 3 + (a / 4!) * x ^ 4 + (a / 5!) * x ^ 5 + ... + ... + ...
Nun kann man noch das a ausklammern -->
f(x) = a * (1 + x + (1 / 2!) * x ^ 2 + (1 / 3!) * x ^ 3 + (1 / 4!) * x ^ 4 + (1 / 5!) * x ^ 5 + ... + ... + ...)
Die Potenzreihe 1 + x + (1 / 2!) * x ^ 2 + (1 / 3!) * x ^ 3 + (1 / 4!) * x ^
4 + (1 / 5!) * x ^ 5 + ... + ... + ... hat in der Mathematik schlicht
und einfach einen Namen verpasst bekommen, man nennt sie e - Funktion. Die e - Funktion ist also über eine Potenzreihe definiert.
Das ist der Beweis, dass folgendes gilt -->
Wenn f(x) = a * e ^ (x) dann f´(x) = a * e ^ (x)
Von allen existierenden Potenzreihen hat nur die Potenzreihe, über die die e - Funktion definiert ist, diese Eigenschaft.
P.S -->
Die Nullfunktion die erwähnt wurde, ist nichts anderes als wenn a = 0 ist, also -->
f(x) = 0 * e ^ (x) = 0
f´(x) = 0 * e ^ (x) = 0
Spontant fällt mir für die Eigenschaft f(x) = f'(x) nur f(x) = 0 ein, sonst keine. Bei Sinus/Cosinus gilt halt noch, dass jede vierte Ableitung gleich ist. Sonst kenn ich keine, die genau f(x) = f'(x) erfüllt.
Beweisen könnte man es mit allen Ableitungsregeln. Du müsstest die möglichen Arten von Funktionen allgemein konstruieren und mit verschiedenen Regen ableiten. Da dann das Ergebnis nicht mit der Ausgangsfunktion übereinstimmt, gibt es keine andere die das macht auser die e-Funktion und halt die Nullfunktion. Aber der Beweis wäre glaube aufwendiger als manch andere Mathebeweise.
Nein, alle Funktionen k*e^x mit einem konstanten Faktor k haben zwangsläufig (nach den Grundsätzen der Differentialrechnung) dieselbe Eigenschaft.
Wenn du zusätzlich noch einen bestimmten Anfangswert forderst (z.B. f(0) = 1), hast du aber die Funktion eindeutig festgelegt.
Also dann habe ich die Frage etwas falsch formuliert:
Also ich meinte schon Funktionen mit komplett anderen Eigenschaften.
Nee, da gibt es schon noch andere - die Nullfunktion zum Beispiel.
Dass (e^x)' = e^x hat man ja auch nur herausgefunden, indem man den Differenzialquotienten einer Exponentialfunktion gebildet und vorausgesetzt hat, dass dieser gleich der Ausgangsfunktion ist - mit der Erkenntnis, dass die Ableitung von der Ausgangsfunktion abhängig ist.
Möglicherweise gibt es noch andere, müsste man ausprobieren oder für alle anderen Funktionsarten widerlegen.
LG Willibergi
Hallo,
beweisen, daß f(x)=e^x=f'(x) kannst Du über den Grenzwert h gegen Null des Differenzenquotienten:
lim (h gegen 0) [e^(x+h)-e^x]/h=e^x
lim e^(x+h)-e^x=h*e^x
lim e^x*e^h-e^x=h*e^x
lim e^x*(e^h-1)=h*e^x
lim e^h-1=h
lim (h gegen 0) e^h=h+1
Wenn h gegen Null geht, geht e^h gegen 1 und genau dies tut auf der anderen Seite der Gleichung auch der Term h+1.
Herzliche Grüße,
Willy
Ach so, mit: Wie hat man das bewiesen? meintest Du die Tatsache, daß es nur eine e-Funktion sein kann, die solche Eigenschaften besitzt. Das war nicht ganz klar formuliert.
Keine Ahnung. Du müßtest ja beweisen, daß unter unzähligen verschiedenen Arten von Funktionen nur diese eine Art f(x)=a*e^x ihre eigene Ableitung ist.
Das wäre natürlich mit einem einzigen Gegenbeispiel widerlegt; aber bis jetzt ist meines Wissens noch keins aufgetaucht. Die e-Funktion ist nicht ohne Grund so beliebt.
Herzliche Grüße,
Willy
Na ja:
k*e^x beschreibt ja alle e-Funktionen, so meinte ich das.
Das ist mir klar!^^ :)
Ich meinte nur ob es noch andere Funktionen als die E-Funtktion gibt, welche diese Eigenschaft aufweisen^^