Ist 1/z komplex differenzierbar?
mit z Element der Menge Komplexe Zahlen und z=x+iy erhalte ich mit den Cauchy-Riemann-DGL, dass 1/z in z0=0 komplex differenzierbar ist, stimmt das?
1 Antwort
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Wieso sollte die Funktion an einer nicht definierten Stelle (komplex) differenzierbar sein? Und selbst wenn du ihr für 0 einen beliebigen Wert zuordnest, ist sie nicht stetig (da die Funktion für z gegen 0 betragsmäßig gegen unendlich divergiert) und damit erst recht nicht (komplex) differenzierbar.
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Sollte bis dahin alles richtig sein, dann sind die Gleichungen nur für x=0=y erfüllt, was ja kein Problem wäre, da die CR-DGL nur für diese Werte gelten müsste. Aber das Problem ist wieder, dass die Funktion dort nicht definiert ist.
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Okay, wäre auf dem ersten Blick in z0=0 diffbar aber aufgrund der Form der Funktion nicht, da nicht definiert und somit dann gar nicht komplex diffbar
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Ja genau. Das verhält sich ähnlich wie im reellen Fall für 1/x.
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Okay, danke. Kann man das auch anders als über die Cauchy-Riemann-DGL zeigen? Eventuell eleganter?
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Und was ich auch noch nicht so ganz verstehe, bei einer weiteren Funktion f(z)=(x-iy)(2-x^2-y^2) nicht ob und wo sie komplex diffbar ist. Mit den CR-DGL erhalte ich 0=0 und einmal eine kreisgleichung mit x^2+y^2=1, die die Lösungen x, y=+-1 hat für x,y=0, also komplex diffbar? Wenn ja wo?
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Dass die Funktion in C\{0} differenzierbar ist? Ja es gibt Sätze, dass 1/g(z) differenzierbar ist falls g ungleich 0 und differenzierbar. Dann wurde es reichen zu zeigen, dass f(z)=z differenzierbar ist (über die Definition leicht machbar). Alternativ ist es auch möglich das ganze direkt mittels der Definition über Differenzquotient zu zeigen.
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Das muss ich mir mal genauer anschauen. Im Moment habe ich leider dafür keine Zeit. Daher kommt die Antwort erst noch.
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Ich hab mir die Aufgabe mal angeschaut und frage mich, wie du auf die Kreisgleichung kommst. Wenn ich die partielle Ableitung des Realteils nach x bilde erhalte ich:
(x^2-y^2+2)/(x^2+y^2+2)
Und für den Imaginärteil nach y:
(x^2-y^2-2)/(x^2+y^2+2)
Damit ergibt sich dann für alle x,y der Widerspruch 2=-2. Daher ist die Funktion nicht differenzierbar.
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Ich habe meines Erachtens imaginär und realteil richtig abgeleitet... also
für (x-iy)(2-x^2-y^2) erhalte ich: -x^3-y^2x+2x+i(x^2y+y^3-2y) damit ist
u=-x^3-y^2x+2x
v=x^2y+y^3-2y
jetzt die partiellen Ableitungen von u und v nach x und y:
ux= -3x^2-y^2+2, uy= -2yx
vx= 2yx, vy= x^2+3y^2-2
nach den CR-DGL:
ux=vy folgt die kreisgleichung
und durch uy=-vx folgt 0=0, also was ist hier genau schief gelaufen?
Danke für deine Mühe
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RitterToby08/1584378644394_nmmslarge__43_0_196_196_060359107108e9d78f799637f51e4c9d.png?v=1584378644000)
Ach ich habe aus irgendeinem (mir unbekanntem ^^) Grund deine Funktion als (x-iy)/(2-x^2-y^2) gelesen. Ohne den Bruch stimmen deine Ableitungen natürlich.
Daher erhälst du, dass die Funktion nur für Werte mit x^2+y^2=1 differenzierbar ist (vorausgesetzt die zugehörige reelle Funktion ist total differenzierbar, was hier aber immer erfüllt ist).
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Okay, danke, also an der Stelle z0=+-1 oder wie?
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Nein an allen z0=x0+iy0 mit
x0^2+y0^2=1.
Also auf dem Einheitskreis in fer komplexen Zahlenebene.
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Okay, aber nach den Cauchy Riemann DGL erhalte ich x=y, -x=y als Lösungen, also weil das widersprüchlich ist nirgendwo komplex diffbar?