Herleitung Additionstheoreme?
Hi, ich will für eine Aufgabe ein Additionstheorem selber herleiten, mithilfe der komplexen Zahlen und zwar dass gilt: A ( cos(x) + cos(y) ) = 2*A*( cos( (x-y)/2 ) * cos( (x+y)/ 2)
Ich habe angefangen, dass cos(x) und cos(y) der Realteil einer komplexen Zahl ist und damit auch als (e^ix + e^-ix)/2 = cos(x) geschrieben werden kann. Die 1/2 und die Amplitude habe ich vorerst ausgeklammert und dann habe ich bei den komplexen Zahlen das stehen:
e^ix + 1/e^ix + e^iy + ^/e^iy
Nun habe ich diese Zahlen auf den gleichen Nenner gebracht und sie miteinander addiert, aber hier komme ich nicht weiter. Ich habe dann dastehen:
1/e^i(x + y) * ( e^i(2x + y) + e^ix + e^iy + e^i(2y + x) )
Wie ich von hier aus weiterkomme weiß ich nicht. Hat jemand eine Idee, bzw. ist es so wie ich es hingeschrieben habe verständlich?
3 Antworten
Du musst e^ix schreiben als e^i((x-y+x+y)/2) = e^i((x-y)/2) e^i((x+y)/2), analog e^iy, dann das Produkt ausmultiplizieren.
Hier:
Vielen Dank!
Gibt es einen Weg wie man von der dritten auf die zweite Zeile von selbst kommen kann?
ich "komme" ja quasi von unten
Ich kann Dir nur einen link geben: https://mathepedia.de/Additionstheoreme.html
Danke für den Link!
Aber auf der Seite leiten sie das Additionstheorem, mithilfe eines anderen Additionstheorems her. Soweit ich weiß geht es auch über die komplexen Zahlen was ich gerne versuchen würde.
Trotzdem danke!
Danke, für die Antwort!
Ich habe das was sie gesagt haben auf meinen letzten Term den ich in die Fragestellung geschrieben habe eingesetzt und habe ihn dann wie sie gesagt haben ausmultipliziert.
Allerdings komm ich dann auf
= e^ix + e^iy + e^-ix + e^-iy
da z.B. der erste Term ausmultipliziert 1/e^i(x + y) * e^i( 2x + y ) = e^ix ergibt.
e^iy wird der vierte Term in meiner letzten Gleichung in meiner Fragestellung.
Und der erste term (e^ix) ausmultipliziert ergibt bei mir:
e^i((x-y)/2) e^i((x+y)/2) * 1/e^(x+y) = e^-ix
Habe ich da irgendwo einen Fehler gemacht?