Komplexe Zahl z mit der Eigenschaft z^2=i?
Also die Frage steht ja schon im Titel, ich brauche dringend eine Lösung für eine komplexe Zahl z Element C mit der Eigenschaft z^2=i
Ich hoffe ihr könnt mir da helfen
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
Ansatz mit Polarkoordinaten: exp( i × Pi / 4 ). Das ist gleich cos( Pi / 4 ) + i × sin( Pi / 4 ). Das ist dann die Lösung von ralphdieter (bis auf plusminus).
![](https://images.gutefrage.net/media/user/SlowPhil/1649031375350_nmmslarge__455_721_1364_1364_fdb83a409a351f2b82eb7387bbd682d9.jpg?v=1649031376000)
Hallo gulu202,
während sich für Addition Komplexer Zahlen besser die Kartesische Form
(1.1) z = x + i∙y
eignet, ist für Multiplikation und Potenzierumg besser die Polarform oder auch Exponentialform
(1.2) z = r∙ei∙φ
geeignet, die auf der EIULER- Formel
(2) ei∙φ = cos(φ) + i∙sin(φ)
beruht. Natürlich ist dabei
(3.1) x = r∙cos(φ) und
(3.2) y = r∙sin(φ).
Hier greifen nämlich die Potenzgesetze
(4.1) au ∙ av = au + v
und
(4.2) (au )v = au∙v .
Da i = ei∙½π ist, muss z = ±ei∙¼π sein, und mit (3.1) und (3.2) aus und der Information, dass cos(¼π) = sin(¼π) = √½ ist, kommt man auf
(5) z = ±(√½ + √½∙i)
Abb.: Ganzzahlige Potenzen von i (Bild Marke Eigenbau)
![- (Schule, Mathematik, Studium)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/423963785/0_big.png?v=1635836835000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Weiß ich nicht auswendig. Löse doch (a+bi)^2 = i. Links ausmultiplizieren, dann hast du mit einem Koeffizientenvergleich (Re = 0, Im = 1) zwei Gleichungen und kannst es lösen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ralphdieter/1444750340_nmmslarge.jpg?v=1444750340000)
±(1+i)/√2
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ralphdieter/1444750340_nmmslarge.jpg?v=1444750340000)
Bruchstrich.
Du findest die Lösungen leicht, indem Du den Winkel von (0, i) halbierst. Das geht dann in die Richtung (1, i) und muss nur noch mit dem Faktor 1/√2 auf die richtige Länge skaliert werden.
Ist / ein Bruchstrich oder eine Trennung zwischen dem ersten und dem zweiten Ausdruck?