Ist {1,1,2,3} eine Teilmenge von {1,2,3,4}?
Hallo,
die Frage seht ihr oben. Laut der Wikipedia Definition müsste das ja stimmen oder?
Vielen Dank für alle antworten.
4 Antworten
Ist es nicht, denn 1 und 1 sind zwar gleich, aber doch zwei Elemente
"A ist eine Teilmenge von B und B ist eine Obermenge von A, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist."
"eine menge beinhaltet jedes element nur ein mal, also ist {1,1,2,3} = {1,2,3}"
Aber die Menge {1,1,2,3} beinhaltet das Element {1} doch zweimal ???
Das widerspricht der Eindeutigkeitsregel. Wenn zwei Elemente einer Menge voneinander nicht unterscheidbar sind, handelt es sich um das gleiche Element.
Cantor beschrieb eine Menge „naiv“ als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen
https://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik)
Mea culpa, ich habe mich bei Wikipedia über „Menge“ in der
Mathematik informiert. Ich hatte unrecht, aber es ist für mich trotz Definition unlogisch im Vergleich zur nichtmathematischen Menge.
Mathematiker waren und sind halt noch immer eine besondere Spezies ;-)
[...] eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte [...]
In der englischen Wikipedia heißt es dementsprechend:
In mathematics, a set is a collection of distinct objects [...]
https://en.wikipedia.org/wiki/Set\_%28mathematics%29
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Deswegen würde ich sagen {1,1,2,3} ist keine Menge. Und die Frage macht deswegen keinen Sinn.
Doch ich glaub die antwort von Williberg (siehe oben) ist schon Richtig. Wenn man sich auf Wikipedia die Gleichheit von Mengen anschaut:
https://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik)#Gleichheit
passt das.
Und somit ist auch {1,1,2,3} eine Menge (Die gleiche Menge wie {1,2,3} oder wie {1,2,2,3} usw).
Egal, ob die 1 in der ersten Menge doppelt aufgeführt ist oder nicht es ist 1 Element der Menge und Ende. Also {1,1,2,3} = {1,2,3}. Ich könnte auch {1,1,1,1,2,2,2,3,3} schreiben und es wäre immer noch die Menge {1,2,3}.
Also gilt: {1,1,2,3} ⊂ {1,2,3,4}.
Ja, denn jedes Element der ersten Menge ist auch Element der zweiten Menge. Da eine ist-Element Beziehung eigentlich nur drin oder nicht drin bedeutet (nicht wie oft drin) ist deine erste Menge { 1, 2, 3 } und dann dürfte die Teilmengenbeziehung offensichtlich sein.
Hallo Schachpapa,
ich habe als Kommentar zu Willibergi's Antwort eine Frage gestellt und würde gerne auch Deine Meinung dazu hören. Danke!
Ja, das ist korrekt.
{1, 1, 2, 3} ⇔ {1, 2, 3}
und {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
da 1, 2, 3 ∈ {1, 2, 3, 4}
somit gilt: {1, 1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3}
Daher ist {1, 1, 2, 3} eine echte Teilmenge von {1, 2, 3, 4}. ;)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Verstehe ich das richtig?
Die Mengen {1, 1, 1, 1, 2} und {1, 2} sind dann also gleich ??
Mea culpa, ich habe mich bei Wikipedia über „Menge“ in der Mathematik informiert.
Ich hatte unrecht, aber es ist für mich trotz Definition unlogisch im Vergleich zur nichtmathematischen Menge.
Mathematiker waren und sind halt noch immer eine besondere Spezies ;-)
Ich finde das sogar sehr logisch.
Sei M = {1, 1, 1, 1, 2} und N = {1, 2}.
Dann kannst du folgendes aussagen:
∀x∈M: x∈N ⇒ M ⇔ N
Oder auch so:
∀x∈M: x = 1 ∨ x = 2 ∧ ∀x∈N: x = 1 ∨ x = 2
⇒ M ⇔ N
Darum enthält eine Vereinigungsmenge auch keine doppelten Elemente. ;)
LG Willibergi
An die Experten
Nachdem ich meine Unkenntnis bzgl. der Mengenlehre geoffenbart habe, sei mir die ernsthafte Frage gestattet: Wozu braucht man Mengenlehre im realen Leben?
Ich hatte in der Schule keine und in meinem ganzen 45-jährigen Berufsleben als Elektroingenieur wurde mir nie gesagt: „Hättest du in der Schule mal bei Mengenlehre besser aufgepasst, dann müsstest du jetzt nicht (so dumm) fragen!“
"Ich hatte in der Schule keine"
Das ist auch grundsätzlich Studieninhalt (Mathematik/Informatik/etc.).
"Wozu braucht man Mengenlehre im realen Leben?"
Die Mengenlehre ist ein Grundbestandteil der Mathematik. Diverse mathematische Bereiche wie Algebra, Analysis oder Stochastik sind darauf aufgebaut.
LG Willibergi
Mit Mengenlehre kann man viele Dinge sehr prägnant formulieren, es ist eine Art Grundvokabular, ohne dass man sich sonst in der Mathematik einen abbrechen müsste.
Wie so vieles in der Mathematik kann man auch hier fragen, "Brauch ich das jemals wieder?" Sicher kann man auch ohne überleben.
Aber ich kann mir kaum vorstellen, dass du die Mathescheine im E-Technik-Studium ohne Mengenlehre gekriegt hast ;-) Du hast doch mit Sicherheit Begriffe wie Element, Teilmenge, Schnittmenge usw. benutzt.
Ich gehörte zu den Schülern, die Anfang der 70er in der Grundschule (!) die Grundbegriffe der Mengenlehre beigebracht gekriegt haben. Spielerisch mit bunten Plastik- oder Pappplättchen. Die waren rund, kreisförmig oder quadratisch, rot, grün, blau oder gelb, groß oder klein, rau oder glatt. Da durften wir die Menge der großen, gelben Plättchen mit der Menge der rauen Dreiecke schneiden. Unsere Eltern hatten noch nie davon gehört und es gab Riesenpanik mit Elternabenden und Mengenlehre-Kurse für Eltern. Ich fand das gar nicht so schwer. Die Eltern haben vermutlich die Schwierigkeit gesucht und nicht gefunden.
http://www.spiegel.de/spiegel/print/d-41784469.html
Heutzutage kommt man in der Oberstufe (Ergebnismenge, Ereignis, Gegenereignis usw) und bei der Menge der Zahlen (N < Z < Q < R < C) mit Mengen in Berührung. (< soll hier das runde Teilmengenzeichen ersetzen). In der (universitären) Informatikausbildung wird reichlich Gebrauch von Mengen und anderen Mathematik-Strukturen Gebrauch gemacht.
"Aber ich kann mir kaum vorstellen, dass du die Mathescheine im
E-Technik-Studium ohne Mengenlehre gekriegt hast ;-) "
Da muß ich Dich enttäuschen. Ich habe ab 1964 in Dresden studiert und meine Matheprüfungen in den ersten zwei Jahren absolviert. ;-)
Nein jetzt hab ich der falschen Antwort die hilfreichste Antwort gegeben. Weiß zufällig jmd. ob man das nochmal rückgägnig machen kann?
Prinzipiell ist das unwiderruflich - du könntest dich allerdings an den Support unter info@gutefrage.net anschreiben, der dir bestimmt weiterhelfen kann.
LG Willibergi
Ja, stimmt.
eine menge beinhaltet jedes element nur ein mal, also ist {1,1,2,3} = {1,2,3}