Bräuchte kurz eine erklärung in Mathe?
Hallo zusammen,
bei meinen Wochenaufgaben stehe ich grade auf dem Schlauch. Die Aufgabe lautet:
Bestimme eine Formel mit der die Anzahl der zweielemetrigen Teilmengen einer beliebigen Menge mit n Elementen berechnet werden kann.
Ich weiß absolut nicht was gemeint ist, ihr müsst mir das Ergebnis auch nicht vorsagen, würde mich nur über einen Lösungsansatz freuen. Danke im Vorraus
4 Antworten
Eine Menge mit n Elementen ist endlich und hat genau dann zweielementige Teilmengen, wenn n größer als 1 ist.
Mit zweielementiger Teilmenge ist gemeint, dass sie die Mächtigkeit 2 hat und eine Teilmenge ist (ich hoffe die Begriffe sind klar, sonst frag bitte).
Es gibt n*(n-1) zweielementige Teilmengen endlicher Mengen einer Mächtigkeit größer 1, da man zunächst das erste Element dieser Menge aus n Möglichkeiten (alle Elemente halt) wählen kann.
Für das zweite Element gibt es nur noch n-1 Möglichkeiten, da man bereits ein Element gewählt hat. Nach den Regeln der Kombinatorik gibt es somit n*(n-1) zweielementige Teilmengen.
Das ganze muss natürlich noch durch 2 geteilt werden, da die Permutationen egal sind!
Wenn die Menge A und B identisch ist mit der Menge B und A (und warum sollte das nicht so sein), dann sind es n*(n-1)/2 oder?
Ich übersetze mal:
Du hast eine Menge M mit N Elementen darin.
Du suchst die Anzahl Z der Teilmengen T von M, die je genau 2 Elemente haben.
Welche Formel gibt Dir Z ?
Beispiel: M hat 4 Elemente. Wieviele Teilmengen haben 2 Elemente? Wenn die Teilmengen exklusiv sind, natürlich 2. Was, wenn die Teilmengen sich beliebig überlappen dürfen? Schau wir mal. Die 4 Elemente in M nennen wir mal A, B, C, D. damit kann ich dann A, B oder A, C oder A, D oder B, C oder B, D oder C, D bilden, also 6 Möglichkeiten. Es gäbe also 6 Teilmengen mit 2 Elementen. Wie sieht die Sache aus, wenn die Menge M nicht 4 sondern eben N Elemente hat?
Ich habe dir dazu mal etwas aufgeschrieben und als Bild angehängt. Wenn du selbst nachdenken möchtest, würde ich dir empfehlen, erst nur bis zum ersten Trennstrich zu lesen. Da habe ich versucht nochmal zu beschreiben, was mit der Aufgabe gemeint ist. Darunter habe ich dann aufgeschrieben, wie man eine entsprechende Formel bestimmen kann.
Als Hinweise für das Bestimmen der Formel:
- Man kann jede zweielementige Teilmenge {x[a], x[b]} durch ein Paar (x[a], x[b]) beschreiben, bei dem x[a] ungleich x[b] ist. Wie kann man entsprechende Paare abzählen?
- Für das Abzählen der Paare bietet sich folgende Denkweise an: Man zieht zuerst ein Element x[a]. Aus den verbleibenden n - 1 Elementen zieht man dann ein zweites Element x[b].
- Man findet veschiedene Paare (x[a], x[b]) und (x[b], x[a]), welche die gleiche Menge {x[a], x[b]} beschreiben, da in Mengen die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt. Wie kommt man von der Anzahl der Paare auf die Anzahl der zweielementigen Teilmengen?
