Intervallschachtelung ohne Taschenrechner?
Hallo,
wie soll das ohne Taschenrechner funktionieren? Woher will man wissen, dass 3,3166^2 die Wurzel aus 11 ist?
Wie??
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/kreisfoermig/1473260705614_nmmslarge__0_0_414_414_d42c0078633cfdb690d50ff27cb8856a.png?v=1473260708000)
Es handelt sich um eine monoton steigende, stetige Funktion ƒ : ℝ ⟶ ℝ der Form x ⟼ x²–11 und die (positive) Nullstelle zu finden. Hier das Verfahren von [PrinzEugen3] nochmals, anders verfasst:
Schritt 0. Finde x[0]≥0 die Zahl mit 0 Nachkommastellen (das heißt x ∈ ℕ) mit Lösung zu ƒ(x)=0 in J⁽⁰⁾ = [x[0],x[0]+1). In unserem konkreten Fall ist dies x[0]=3.
Für alle n>0…
Schritt n. Man findet x[n]≥0 eine Zahl mit n Nachkommastellen, mit Lösung zu ƒ(x)=0 in J⁽ⁿ⁾ = [x[n], x[n]+10˜ⁿ).
Herleitung:
Anhand x[n–1] ist dies einfach zu finden: Aus Schritt n–1 ist die Lösung zu ƒ(x)=0 in J⁽ⁿ˜¹⁾ = [x[n–1], x[n–1]+10·10˜ⁿ). Wegen Monotonie und der Eindeutigkeit der Nullstelle gilt ƒ(x[n–1])≤0 und ƒ(x[n–1]+10·10˜ⁿ)>0.
Man kann das Intervall in 10 Teile verfeinern: logisch gesehen muss es ein k ∈ {0; 1; …; 10–1} geben mit ƒ(x[n–1]+k·10˜ⁿ)≤0 und ƒ(x[n–1]+(k+1)·10˜ⁿ)>0. Wegen Monotonie ist dies eindeutig. Sei x[n]=x[n–1]+k·10˜ⁿ. Da ƒ stetig ist, gibt es aufgrund der Randbedingungen ein x ∈ J⁽ⁿ⁾ := [x[n], x[n]+10˜ⁿ) mit ƒ(x)=0. Schritt n erledigt.
Nochmals: um x[n] aus x[n–1] zu bestimmen, muss man lediglich das größte k ∈ {0; 1; …; 10–1} finden mit ƒ(x[n–1]+k·10˜ⁿ)≤0 und dann setzt man x[n]=x[n–1]+k·10˜ⁿ.
ALLGEMEINER.
Im Allgemeinen geht es darum, ein x zu finden mit genügend Nachkommastellen, so dass man „weiß“, das die echte Lösung x* nicht weit vom x liegt. Angenommen, wir wollen
nNachkommastellen… und wir wollen das langsame Verfahren oben nicht verwenden, sondern z. B. das Newton Verfahren.
Man setzt
kgenügend groß. Wie groß? wir werden das anschließend besprechen.
- Mittels eines fixierten Verfahrens finde man eine numerische Approximation x nach endlich vielen Schritten des Verfahrens, bis ƒ(x–10˜ᵏ)<0 und ƒ(x+10˜ᵏ)>0 gelten. (Dies wird irgendwann auftreten, da das Verfahren sich der exakten Lösung beliebig nahe nähert.)
- Ab hier weiß man wegen Stetigkeit von ƒ, dass die exakte Lösung x* erfüllt x* ∈ (x–10˜ᵏ, x+10˜ᵏ).
- Nun stimmen die Nachkommstellen von x–10˜ᵏ und x+10˜ᵏ bis k–1 Stellen (außer x ist beispielsweise der Form a,b…z0000 oder a,b…z9999).
- Gleiches gilt für jede Zahl in dem Intervall und daher für x*. Damit weiß man x* zu k–1 Nachkommastellen.
Jetzt weiß man, dass oben der Wert k=n+1 genügt… solange der problematische Fall nicht auftritt. In solchen Fällen, da es sich bei der Lösung um eine
irrationale Zahlhandelt, kann dies nicht ewig weitergehen: man berechne in solchem Fall einfach weiter bis die abschließenden 0er oder 9er (d. h. ab Stelle
k) aufhören. Dies wird wegen Irrationalität geschehen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/13_nmmslarge.png?v=1551279448000)
ich kenne das unter dem Namen interpolieren, du suchst für eine Zahl die benachbarten Quadratzahlen und näherst dich deiner Zahl an.
Unterhalb von 11 liegt die 9; die Quadratzahl von 9 ist drei. Oberhalb von ist 16 die nächste Quadratzahl, die lautet 4. An welcher Zahl liegt die 11 näher dran ?
sie ist von 16 funf Zahlpunkte entfernt, sie ist von 9 nur zwei Zahlpunkte entfernt, demzufolge liegt die gesuchte Quadratwurzel aus 11 eindeutig näher bei 3 als bei 4 , und zwar weit unter 3, 5 (denn sonst läge die 11 von der 9 und der 16 gleichweit entfernt , tut sich nicht.
Quadratzahl liegt also unter von 3,5
Dann mach ich weiter mit try und error und nähere mich der gesuchten Zahl an , unterhalb von 3,5 (aber über 3,0) liegt die 3,4
3,4 x 3, 4 = 11,56 also noch etwas zu gross
also vielleicht : 3,35 x 3,35 = ausrechnen
usw.
hoffe ich konnte helfen
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Suche mal Intervallschachtelung oder Heron-Newton-Verfahren im Netz - da wird das gut erklärt. Das sind nicht so einfache, langwierige Verfahren, um die Wurzel zu bestimmen.