Woher weiß ich, dass: Wurzel(24) x 1/2 = Wurzel(6)?
Das Problem dabei ist, dass ich nicht den Taschenrechner benutzen darf. Mit ihm wäre es kein Problem aber ohne weiß ich wirklich nicht wie ich darauf kommen soll.
4 Antworten
√24 * 0,5
= √24 * √0,25
= √(24 * 0,25)
= √6
Du masst 24 einfach in Primzahlen zerlegen, in diesem Fall Primfaktoren genannt, jede Zahl ist dabei eindeutig in Primfaktoren zerlegbar !!
Beispiel : 24 = 4*6 = 2*2*2*3
Wir wissen 2 und 3 sind Primzahlen !!!
Also mit den Gesetzen der Wurzelrechnung wissen wir:
Wurzel(2*2*2*3) = Wurzel(2) * Wurzel(2) * Wurzel(2)* Wurzel(3)
Außerdem wissen wir: Wurzel(x) * Wurzel(x) = x
Also folgt für unsere Rechnung:
Wurzel(2) * Wurzel(2) * Wurzel(2)* Wurzel(3) = 2 * Wurzel(2) * Wurzel(3)
Und wie wir oben schon umgeformt haben dürfen wir auch hier wieder das Produkt der Wurzeln zusammenfassen und erhalten:
Wurzel(24) = 2 * Wurzel(2*3) = 2* Wurzel(6)
√ 24 = √ 6 * 4 = √ 6 * √ 4
Du kannst die Gleichung durch Wurzel 6 teilen. Es bleibt:
√(4) * 1/2 = 1 | *2
√ 4 = 2
2 = 2 (wahr)
Kennst du die Wurzelgesetze?
√(a) • √(b) = √(a • b)
Wenn 2 Wurzeln multipliziert werden, kann man sie als eine Wurzel schreiben, indem man einfach beide Diskriminanten (das, was unter der Wurzel steht) multipliziert und unter eine Wurzel schreibt. D.h. :
√ (7) • √ (4) = √ (7 • 4) = √ (28)
√ (3) • √ (0,5) = √ (3 • 0,5) = √ (1,5)
Wenn du das weißt, kannst du deine Aufgabe ganz leicht lösen, in dem du einfach die Dezimalzahl in eine Wurzel umwandelst, indem du sie quadrierst.
0,5² = 0,25
=> √ (0,25) = 0,5
An der Zahl hat sich nichts geändert, sie wurde lediglich quadriert und wieder "verwurzelt", das gleicht sich aus. Jetzt hat man aber die Zahl als Wurzel, folglich kann man oben besagtes Gesetz anwenden:
√(24) • 0,5 = x
0,5 = √(0,25)
=> √(24) • √(0,25) = √(24 • 0,25)
<=> √(24) • √(0,25) = √(6)
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24 • 0,25 kann wohl jeder im Kopf, also alles andere als schwer.