Wie funktioniert die Intervallschachtelung mit der Halbierungsmethode?
Hallo,
ich habe in der Schule nicht verstanden wie die Intervallschachtelung funktioniert. Wir haben nur die Halbierungsmethode gelernt und ich glaube auch, dass unsere Lehrerin erwartet, dass wir diese in der Arbeit anwenden. Also bin ich euch wirklich dankbar wenn mir das jemand erklärt;(
1 Antwort
Zunächst einmal zur Illustration:
Es gibt ein Zahlenratespiel, wo Person A sich eine Zahl ausdenkt (sagen wir mal, von 1 bis 1000), und Person B diese Zahl erraten soll.
Jede Spielrunde nennt Person B eine Zahl, und Person A sagt, ob die Zahl die gesuchte ist oder ob sie zu groß bzw. zu klein ist.
Am schnellsten kommt Person B mit der Halbierungsmethode zum Ziel:
Am Anfang: Alle Zahlen von 1 bis 1000 sind möglich.
In der Mitte von 1 und 1000 liegt 500,5.
Person B nennt jetzt eine der benachbarten ganzen Zahlen, also 500 oder 501. Sagen wir mal 500.
Person A sagt z. B., "Die Zahl ist zu groß."
Wir wissen jetzt, dass die Zahl zwischen 1 und 499 liegt. (Intervall [1, 499].) Die Mitte zwischen 1 und 499 ist 250. (Das ist natürlich auch die Mitte des Intervals.) Person B sagt also "250".
Person A sagt z. B., "Die Zahl ist zu klein."
Wir wissen jetzt, dass die Zahl zwischen 251 und 499 liegt. In der Mitte liegt 375.
Usw. bis Person A sagt, "Dies ist die gesuchte Zahl."
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Da nur ganze Zahlen in Frage kommen, ist das Beispiel keine "echte" Intervallschachtelung, da wir aufhören können, sobald die Länge des Intervalls kleiner als 1 wird. Ansonsten ist es aber das gleiche wie eine Intervallschachtelung mit der Halbierungsmethode.
Da wir bei einer Intervallschachtelung aber alle Zahlen zur Verfügung haben und nicht nur ganze, dürfen wir von den Grenzen nicht einfach 1 abziehen oder 1 hinzuzählen. Wenn wir also hören "500 ist zu groß", kann ja auch 499,9 richtig sein, oder 499,99 etc. Jede Zahl unter 500 kann zu klein sein, also müssen wir die obere Grenze bei 500 lassen.
Ebenso bei der unteren Grenze 250 - es könnte ja 250,1 oder 250,01 usw. sein.
Außerdem bringt es nichts, zu einer der benachbarten ganzen Zahlen zu gehen - wenn die gesuchte Zahl keine ganze Zahl ist und die Intervalllänge kleiner wird als der Abstand zur nächsten ganzen Zahl, ist das außerdem auch nicht mehr möglich.
Weiter kommt hinzu, dass wir auch nicht mehr gesagt bekommen, wenn wir die Zahl getroffen haben, sondern nur, dass die gesuchte Zahl nicht unter bzw. nicht über der genannten Zahl liegt.
Also statt "500 ist zu groß" hören wir "500 ist nicht zu klein". Bzw. statt "250 ist zu klein" "250 ist nicht zu groß".
Bei jeder solchen Antwort wissen wir, ob wir die untere Grenze hinaufsetzen oder die obere Grenze heruntersetzen können.
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Statt der Halbierungsmethode können wir auch jede andere Methode nehmen, die dafür sorgt, dass bei jedem Schritt eine der Grenzen echt verändert wird, z. B. jeweils die nächste Ziffer abfragen:
wir wissen z. B., dass die Zahl zwischen 388,3 und 388,4 liegt.
Dann fragen wir der Reihe nach die Zahlen
388,30; 388,31; 388,32; 388,33; 388,34; 388,35; 388,36; 388,37; 388,38; 388,39
ab. Damit haben wir eine neue untere und eine neue obere Grenze, die jetzt 1/10 so weit auseinander liegen wie die jetzigen Grenzen, und wir wissen die nächste Ziffer.
(Anmerkung: 0,99999... (unendlich viele Neunen) = 1,0000....)
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Wir können im Prinzip aber auch jede beliebige Zahl nehmen, die im Innern des jetzigen Intervalls liegt.
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Egal, welche Methode wir nehmen, die Intervalle werden immer kürzer und es gibt eine einzige (reelle) Zahl, die in allen Intervallen liegt.