Integralrechnung Wasserrückhaltebecken?
Bei starkem Regen können Bäche gefährlich anschwellen. Um Schäden zu verhindern, leitet man über die Kanalisation aufgefangenes Regenwasser in oberirdische oder unterirdische Rückhaltebecken. Ist nach dem Regen der Wasserstand in den Bächen wieder auf das normale Niveau gefallen, kann man das Rückhaltebecken entleeren. Ein leeres Rückhaltebecken wird zunächst 20 min mit einer Zuflussgeschwindigkeit von 20 m^3/min geflutet. Nach weiteren 10 min wird es wieder entleert. Durch den Abfluss fließen 30 m^3/min.
a) stellen Sie die Zufluss – beziehungsweise Abflussgeschwindigkeit (in m^3/min) in einem Koordinatensystem in Abhängigkeit von der Zeit (in min) dar.
b)Berechnen Sie die Wassermenge im Becken nach 10 min, 20 min… 50 min.
c) Erstellen Sie ein Funktionsterm, mit dem man die Wassermenge im Becken in Abhängigkeit von der Zeit berechnen kann. Zeichnen Sie auch den Graphe dieser Funktion.
d) Der Graph, der die Zufluss – bzw. Abflussgeschwindigkeit darstellt, schließt mit der x–Achse zwei Rechtecke ein. Deuten Sie deren Flächeninhalt im gegebenen Kontext.
Ich bräuchte dringend Hilfe bei diesen Aufgaben. Wir haben das Thema Integralrechnung jetzt erst neu in Mathe angefangen und ich verstehe es nicht wirklich. Mir fehlt da irgendwie der Ansatz und ich weiß nicht so richtig wie ich anfangen soll. Kann mir da jemand helfen?
1 Antwort
a) zu Beginn hast Du von x=0 min bis x=20 min eine waagerechte Gerade bei y=20 (m³/min), dann passiert 10 min nichts, d. h. von x=20 bis x=30 liegt die waagerechte Gerade auf der x-Achse, dann folgt ab x=30 eine waagerechte Gerade bei x=-30 m³/min.
b) die Wassermenge ist die Fläche unter dem Graphen: bei der Integralrechnung habt ihr ja (wenn ihr schon soweit seit) mit der Berechnung von Rechtecken unter- und oberhalb des Graphen begonnen, d. h. die Einheit der Fläche ist x-Achseneinheit mal y-Achseneinheit, also hier: min * m³/min = m³ [Wassermenge im Tank].
Die Fläche unterhalb des Graphen ist ja von x=0 bis x=20 und ab x=30 jeweils ein Rechteck. D. h. Du brauchst von Integralrechnung keine Ahnung zu haben, sondern nur zu wissen, wie man Rechtecksflächen berechnet. Das einzige, was zu Beachten gilt ist, dass Flächen unterhalb der x-Achsen negativ sind, d. h. diese müssen von Flächen oberhalb der x-Achse abgezogen werden (hier bei der Aufgabe handelt es sich ja auch praxisbezogen um einen Abfluss, also einer Abnahme).
c) hier kommt jetzt auf die y-Achse die Einheit m³ (Wassermenge im Tank). Dies ist eine Gerade mit der Steigung 20 m³/min, beginnend im Nullpunkt, dann folgt eine waagerechte Gerade (10 min. lang kein Zu- bzw. Abfluss) von x=20 bis x=30, gefolgt von einer fallenden Geraden mit Steigung -30 m³/min.
d) habe ich schon bei b) angerissen...
Vielen Dank!
Eine Frage noch zur a) Wie lange bleibt die Waagerechte Gerade bei x=-30 m^3/min?
Wird das Becken dann nach 30 min wieder im gleichen Tempo aufgefüllt oder bleibt es leer?
20 Minuten lang fließen 20m³/min in das leere Becken, also insgesamt 20*20=400m³. Ab Minute 30 laufen 30m³/min wieder raus, d. h. doch rechnerisch, dass nach 400/30=13,333...=13 1/3 = 13 Min 20 Sek. das Becken wieder leer ist, d. h. bei x=30+13,33=43,33 ist die Nullstelle.
Bei x=40 sind von den zugelaufenen 400m³ bereits 10min * 30m³/min=300 m³ wieder abgelaufen, also ist bei x=40 y=400m³-300m³=100m³. Bei x=50 ist das Becken bereits seit knapp 7 Minuten leer...
Danke dir! eine letzte Frage hätte ich aber noch: was ist denn jetzt der genaue Funktionsterm von Aufgabe c)
mit welchem man die Wassermenge ausrechnen kann?
c) finde ich recht eigenartig gestellt! Der Graph zu der beschriebenen Ausgangssituation (20 Minuten Zufluss, 10 Minute Ruhe, dann Abfluss) besteht ja aus 3 Teilgraphen, die jeweils zu verschiedenen Funktionstermen gehören. Oder soll es hier nur um die Berechnung gehen für den Fall, dass Wasser in ein leeres Becken zufließt? Der Graph dazu wäre ja eine steigende Gerade mit Start im Nullpunkt und der Steigung 20 m³/min, also f(x)=20x, mit y-Achse in m³ und x-Achse in min. So sind z. B. nach x=12 Minuten f(12)=20*12=240 m³ im Becken.
Ich kann mir nicht vorstellen, dass hier eine Funktion gewünscht wird, die aus 3 Teilfunktionen besteht, die je nach Zeitintervall aus anderen Funktionstermen bestehen (da es ja auch "erstellen Sie ein(en) Funktionsterm" heißt!!). So würde z. B. für den Zeitraum von x=20 bis x=30 Minuten die konstante Teilfunktion f2(x)=400 in Frage kommen, weil in dieser Zeit das Becken konstant mit 400m³ gefüllt ist. Wenn doch kannst Du ja jetzt überlegen wie der letzte Term (eine fallende Gerade mit Steigung -30) aussehen müsste... :). Dieser Term gilt dann für das Intervall von x=30 bis x=43,33 (da ist ja das Becken leer, und somit f(x) von da an konstant 0)
Also ich weiß nicht ganz, wie die Werte bei x=40 und x=50 aussehen