Integral von e Funktion mit |x|?

Guten tag, ich sitze momentan an einer Mathe Aufgabe und ich verstehe leider die benötigten Rechenschritte nicht.

Es handelt sich um die Funktion f(x) = 0,25e^(0,5*|x|) mit den grenzen -unendlich bis +unendlich.

Da die Substitution in diesem Fall nicht viel bringt, da sich das x in dem Term |x|/(-0,5x) dz nicht rauskürzen lässt bin ich da ratlos :(.

Ich weiß, dass es etwas mit der Achsensymmetrie zutun hat, da f(-x) = f(x) ist. Ich weiß, dass F(x) Punkt symmetrisch ist und daher normalerweise ja den wert 0 haben müsste, da sich die flächen aufheben, hier ist es aber 1. warum auch immer.

Falls sich jemand damit auskennt wäre ich über jede Hilfe dankbar :)

Answer 1

[evtldocha]

Für die Betragsfunktion gilt:

$x<0\ \Rightarrow\mid x\mid\ =\ -x\ ;\ x\ge\ 0\ \Rightarrow\ \mid x\mid\ =\ x\$

Und damit kann man das Integral aufspalten in zwei Teilintegrale, die jedes für sich die Betragsfunktion nicht mehr enthalten (und jedes ergibt den Wert 2):

$\int_{_{-\infty}}^{\ +\ \infty}\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{2}|x|}=\frac{1}{4}\left(\int_{_{-\infty}}^{\ 0}e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(-x\right)}dx+\int_{_0}^{\ +\infty\ }e^{-\frac{1}{2}\cdot x}\right)$

Vielleicht wird es damit klarer.

Skizze: Rechtes Integral in der Klammer mit Faktor 1/4 verrechnet.

Comments

[Leon2000507]

Vielen dank für die schnelle Antwort, das hat sehr geholfen <3 Habe es gelöst bekommen, macht auch echt sinn wenn man es so aufteilt. Hut ab!