Integral mit Kreuzprodukt. Gauß'scher Satz. Wie lösen?
Hallo, frage steht oben.
Wie löse ich folgendes Integral?
Vielen Dank im Voraus :)
1 Antwort
Satz von Gauß:
Int[V]{ div(F) dV} = Int[S]{ F * n dA}
Benutze nun:
a x b = S(a)*b
mit schiefsymmetrischer Matrix S(a) gegeben zu
S(a) =
[0 , -a3 , a2
a3, 0, -a1
-a2, a1, 0]
Entsprechend lässt sich schreiben
Int[S]{ r x n dA} = Int[S]{ S(r) * n dA}
Sei nun S(a) = [ v(a)^T | w(a)^T | u(a)^T ]^T , mit Zeilenvektoren v(a), ... , so dass
Int[S]{ S(r) * n dA} = Int[S]{ v(r) * n dA} * e(1) + Int[S]{ w(r) * n dA} * e(2) + Int[S]{ u(r) * n dA} * e(3)
mit kartesischen Einheitsvektoren e(i). Anwenden des Gaußschen Satzes auf die Teilintegrale liefert dann
Int[S]{ S(r) * n dA} =
= Int[V]{ div(v(r)^T) dV} * e(1) + Int[V]{ div(w(r)^T) dV} * e(2) + Int[V]{ div(u(r)^T) dV} * e(3)
so dass final gilt:
Int[S]{ r x n dA} = Int[S]{ S(r) * n dA} = Int[V]{ div(S(r)) dV}
siehe hierzu
https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Divergenz_von_Tensoren_zweiter_Stufe
beziehungsweise für die entsprechende Form in Zylinderkoordinaten
https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Gau%C3%9Fscher_Integralsatz_2
und für die Darstellung des Kreuzproduktes mittels einer Matrix
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix
Leider kann ich hierraus nicht erkennen, was S(r) sein soll.
Trotzdem danke für deine Antwort.
Das ist ja cool, hab ich in der Form noch gar nicht gesehen! Hast du ein Beispiel wo man das in der Physik nutzt?