Integral mit Kreuzprodukt. Gauß'scher Satz. Wie lösen?

Hallo, frage steht oben.

Wie löse ich folgendes Integral?

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

[poseidon42]

Satz von Gauß:

Int[V]{ div(F) dV} = Int[S]{ F * n dA}

Benutze nun:

a x b = S(a)*b

mit schiefsymmetrischer Matrix S(a) gegeben zu

S(a) =

[0 , -a3 , a2

a3, 0, -a1

-a2, a1, 0]

Entsprechend lässt sich schreiben

Int[S]{ r x n dA} = Int[S]{ S(r) * n dA}

Sei nun S(a) = [ v(a)^T | w(a)^T | u(a)^T ]^T , mit Zeilenvektoren v(a), ... , so dass

Int[S]{ S(r) * n dA} = Int[S]{ v(r) * n dA} * e(1) + Int[S]{ w(r) * n dA} * e(2) + Int[S]{ u(r) * n dA} * e(3)

mit kartesischen Einheitsvektoren e(i). Anwenden des Gaußschen Satzes auf die Teilintegrale liefert dann

Int[S]{ S(r) * n dA} =

= Int[V]{ div(v(r)^T) dV} * e(1) + Int[V]{ div(w(r)^T) dV} * e(2) + Int[V]{ div(u(r)^T) dV} * e(3)

so dass final gilt:

Int[S]{ r x n dA} = Int[S]{ S(r) * n dA} = Int[V]{ div(S(r)) dV}

siehe hierzu

https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Divergenz_von_Tensoren_zweiter_Stufe

beziehungsweise für die entsprechende Form in Zylinderkoordinaten

https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Gau%C3%9Fscher_Integralsatz_2

und für die Darstellung des Kreuzproduktes mittels einer Matrix

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)

Comments

[Najix]

Das ist ja cool, hab ich in der Form noch gar nicht gesehen! Hast du ein Beispiel wo man das in der Physik nutzt?

[TheSmurey]

Leider kann ich hierraus nicht erkennen, was S(r) sein soll.

Trotzdem danke für deine Antwort.