Kann jemand die Aufgabe lösen?

Es seien 𝑋𝑋, 𝑌𝑌 und Z Mengen sowie 𝑓𝑓:𝑋𝑋 ⟶ 𝑌𝑌 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑔𝑔: 𝑌𝑌 ⟶ 𝑍𝑍 Funktionen. Weiter sei ℎ ≔ 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓 die Komposition von 𝑓𝑓 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑔𝑔. Widerlegen Sie die folgenden falschen Aussagen durch je ein Gegenbeispiel. (a) Ist ℎ injektiv, so ist auch 𝑔𝑔 injektiv. (b) Ist ℎ surjektiv, so ist auch 𝑓𝑓 surjektiv. (c) Ist ℎ nicht injektiv, so gilt: 𝑓𝑓 ist nicht injektiv und 𝑔𝑔 ist nicht injektiv. (d) Ist ℎ nicht surjektiv, so gilt: 𝑓𝑓 ist surjektiv und 𝑔𝑔 ist nicht surjektiv.

Ich verstehe nicht, wie genau ich diese Aufgabe angehen soll. Kann mir jemand vielleicht wenigstens für eine Aufgabe den Lösungsweg geben, damit ich es nachvollzeihen kann?

Answer 1

[Jangler13]

Bei der a) geht folgendes Beispiel:

X = {1}

Y = {1,2}

Z = {1}

f(1)=1

g(1)=g(2)=1

Somit folgt dass für h: X->Z gilt:

h(1)=1

h bildet also X auf Z injektivitiv ab, g ist jedoch nicht injektivitiv.

Da aber halt das Element 2 aus Y, welches problematisch für die injektivität ist, nicht von f getroffen wird, ist es für h kein Problem.

Bei den anderen Teilaufgaben musst du versuchen ähnliche Funktionen zu konstruieren (am besten malst du dir die Mengen mit möglichst wenigen Elementen auf und stellst die Abbildungen durch Pfeile dar)