Hoch-und Tiefstelle wie richtig berechnen?
Hey, Ich soll bei dieser Aufgabe die Nullstellen und die Hoch- und Tiefpunkte mit der ersten und zweiten Ableitung berechnen. Kann mir iwer den richtigen Rechenweg zeigen?
f(x)=1/3x^4-1/3x^3-x^2
Danke :)
4 Antworten
Nullstellen:
f(x) = 0
1/3x^4-1/3x^3-x^2 = 0 | *3
x^4 - x^3 - 3x² = 0 | ausklammern
x² (x² - x - 3) = 0
Zwei Fälle: 1) x = 0 2) x² - x - 3 = 0 mit p,q-Formel
Extremwerte:
f '(x) = 0
f '(x) = 4/3 x³ - x² - 2x = x (4/3 x² - x - 2)
x (4/3 x² - x - 2) = 0
Zwei Fälle wie oben. Nicht vergessen, y zu berechnen (aus der Gleichung oben)!
Zweite Ableitung:
f ''(x) = 4x² - 2x - 2
Hier müssen die x-Werte der 3 Extrempunkte eingesetzt werden. Daraus erkennt man ihren Charakter.
f ''(x) >0 Minimum f ''(x) <0 Maximum
Ich hoffe, das hilft dir weiter. Der Rest ist reine Rechnerei, die der Taschenrechner erledigt. Du musst nur die richtigen Werte einsetzen.
Eine Nullstelle ist x=0 das sieht man sofort,weil nur Terme mit x vorkommen.
Weitere Nullstellen bei x1=- 1,30277 und x2=2,30277 habe die Funktion durch meinen Graphikrechner gejagt.
Maximum bei x=0
Minimum bei x=- 0,9058 y= -0,338 relatives Minimum !!!
Minimum bei x=1,6588 y=-1,7493 absolutes Minimum !!!
y=1/3 * x^4 -1/3 *x^3 - x^2 ein x ausklammern y= x *(1/3 * x^3 -1/3*x^2 -x)
noch mal ein x ausklammern y= x *(x * (!/3 *x^2 - 1/3 * x - 1)
Nullstellen bei 1/3 *x^2 - 1/3 *x - 1 mit p-q-Formel ermitteln
Folgende Bedingungen sind aus den Mathe-Formelbuch,was man in jeder Buchhandlung (privat) bekommt.
Maximum bei f´(x) =0 und f´´(x)< 0
Minimum bei f´(x)=0 und f´´(x) > 0
Wendepunkt bei f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich null
Wendepunkte bei x1= - 0,5 und x2=1
du musst nun nur noch die Funktion 3 mal ableiten und die Werte einsetzen.
Tipp : Wenn du mit Funktionen zu tun hast,brauchst du unbedingt einen Graphikrechner.
Die Adressen der Hersteller bekommst du,wenn du im Suchfeld "Graphikrechner",programmierbarer Taschenrechner eingibst.
Vorteil :Die verrechnen sich nie und spart unheimlich Zeit.
für die Nullstellen klammerst du zunächst x² aus und wendest dann den
Nullprodukt-Satz an (google)
für Hoch-und Tiefpunkte bildest du die 1.Ableitung und setzt sie =0
Mit der 2. Ableitung stellst du fest, ob Hoch- oder Tiefpunkt vorhanden.
Nach einiger Eigenleistung wird dir sicher weiter geholfen.
Die obere Gleichung ist leider sehr undurchsichtig, da es keine Klammern gibt